Các lý do thuyết phục để tin gì?

23

Các lý do thuyết phục để tin gì? L là lớp các thuật toán không gian log với các con trỏ tới đầu vào. $L\neq P$

Giả sử L = P trong lúc này. Thuật toán không gian log cho một vấn đề hoàn chỉnh P trông như thế nào trong các phác thảo chung của nó?

cc.complexity-theory complexity-classes

— Số
nguồn

2

theo một nghĩa nào đó, nó sẽ là một thuật toán nén không gian cho tính toán máy Turing thời gian P thường chiếm không gian P. do đó, nếu L ≠ P thì có một số "giới hạn nén" (trong) của P. một hướng xây dựng / câu hỏi / nghiên cứu có thể dựa trên góc này, nén chuỗi chạy TM

— vzn

1

xem thêm tách bài đăng trên blog của L / P & kintalis được trích dẫn ở đó

— vzn

28

Kết quả của Mulmuley (từ trang web của Mulmuley không có paywall) rằng, trong mô hình PRAM không có hoạt động bit, " ". (Trong mô hình boolean thông thường có sống, .) Mô hình này đủ mạnh để kết quả ngụ ý bất kỳ thuật toán cho - Bài toán hoàn thành sẽ phải trông khá khác biệt so với hầu hết các thuật toán đã biết đối với các bài toán . $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NC}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

Mô hình PRAM không có hoạt động bit là mô hình đại số không đại số trên (tương tự như cây tính toán đại số hoặc mô hình RAM đại số Blum - Shub - Smale) trong đó chương trình không hình thành đại lượng không chỉ phụ thuộc vào số lượng đầu vào số nguyên, nhưng cũng trên tổng số bitlength của chúng. Theo cách này, nó không phải là một mô hình đại số "thuần túy", mà sống ở đâu đó giữa đại số và boolean. Mô hình này bao gồm các thuật toán đa thời gian để lập trình tuyến tính, maxflow, mincut, cây bao trùm có trọng số, đường dẫn ngắn nhất và các vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khác, thuật toán logspace cho đẳng cấu cây (xem bình luận bên dưới) và thuật toán để xấp xỉ các gốc phức của đa thức, đó là lý do tại sao tôi nói bất kỳ thuật toán cho $\mathbb{Z}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ vấn đề hoàn chỉnh (mà, như câu hỏi của bạn cho biết bạn biết, hầu hết mọi người nghĩ rằng không tồn tại) sẽ phải trông khá khác biệt so với bất kỳ vấn đề nào trong số này.

— Joshua Grochow
nguồn

Trong phỏng đoán của anh ta ở trang 62, Mulmuley liên quan đến với dòng chảy nhỏ như thế nào? Tại sao phải tuyến tính và là một mệnh đề? Giả thuyết dường như ngụ ý không có bản đồ tuyến tính hạng (vì bản đồ nghịch đảo của bản đồ tuyến tính 1−1 là tuyến tính) được đánh giá trên tập 0 của có thể bao phủ . Là giải thích của tôi chính xác?

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L

$L$

F

$F$

k

$k$

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L (n)

$L(n)$

— T ....

(Câu hỏi hay, nhưng có vẻ hơi trực giao với câu hỏi đang được hỏi ở đây ...) Có. Bất cứ điều gì có thể tính toán hiệu quả trong mô hình PRAM không có hoạt động bit đều có công thức nhỏ , do đó (bởi Valiant) là hình chiếu của det: . Cụ thể, iff iff .

φ

$\varphi$

φ (x) = det (F (x))

$\varphi(x) = \det(F(x))$

x \in L (n)

$x \in L(n)$

det (F (x)) = 1

$\det(F(x)) = 1$

x \in F^{- 1} (S L_{m})

$x \in F^{-1}(SL_m)$

— Joshua Grochow

giả định duy nhất là dường như là trường hợp. Khá thú vị! Như với bất kỳ giả định và bằng chứng phức tạp nào khác - Có phải cách khác được biết: đó là nếu , là ? Tôi chưa bao giờ thấy những cuộc trò chuyện như vậy trong lý thuyết phức tạp hay là những cuộc trò chuyện như vậy là không thể?

d e t \notin N C^{1}

$det\notin NC^{1}$

d e t \in N C^{1}

$det\in NC^1$

P = N C

$P=NC$

— T ....

@JAS: Tôi không hiểu ý của bạn là gì bởi "giả định duy nhất là ...": Tôi không nghĩ nó theo sau đó , nếu đó là những gì bạn đang nói ...

det \notin N C^{1} \Rightarrow P \neq N C

$\det \notin NC^1 \Rightarrow P \neq NC$

— Joshua Grochow

1

@JAS: Niềm tin rằng ủng hộ phỏng đoán, nhưng nó không bao hàm sự phỏng đoán. Anh ta đề cập đến điều ngược lại, rằng nếu khớp hoàn hảo thì phỏng đoán là sai đối với nhỏ . Tương tự, nếu phỏng đoán là đúng thì khớp hoàn hảo . Lưu ý rằng đây là hướng ngược lại với những gì bạn đang nói.

d e t \notin N C^{1}

$det \notin NC^1$

\in N C^{1}

$\in NC^1$

a

$a$

\notin N C^{1}

$\notin NC^1$

— Joshua Grochow

15

Có một loạt các tác phẩm của M. Hofmann và U. Schöpp chính thức hóa khái niệm trực quan về "thuật toán không gian logarit điển hình", chỉ sử dụng một số lượng con trỏ không đổi cho cấu trúc dữ liệu đầu vào, như một ngôn ngữ lập trình PURPLE (chương trình con trỏ thuần với lặp đi lặp lại.)

Mặc dù các chương trình PURPLE không nắm bắt được tất cả (chúng đã được chứng minh là không thể quyết định st-connectiviy vô hướng), nhưng phần mở rộng của chúng với tính toán được hiển thị để chiếm một phần lớn , nhưng không vấn đề P-hoàn chỉnh Horn-SAT. Điều này được thể hiện trong bài báo mới nhất trong sê-ri: M. Hofmann, R. Ramyaa và U. Schöpp: Chương trình con trỏ thuần túy và sự đồng hình hóa cây, FOSSACS 2013. $\mathsf{L}$ $\mathsf{L}$

Kết luận dường như là các thuật toán không gian logarit cho các bài toán hoàn thành phải rất không điển hình và vượt xa những gì có thể được thực hiện trong PURPLE khi đếm. $\mathsf{P}$

— Jan Johannsen
nguồn

5

PURPLE với việc đếm là một mô hình thú vị và tương ứng với trực giác ngây thơ của tôi về các thuật toán logspace. Nhưng tôi không biết liệu kết quả này có phải là bằng chứng tốt cho : họ thậm chí còn nói "Vì vậy, khả năng của Horn satis không thể được quyết định trong PURPLE được tăng cường với tính không điều kiện và tính cả, nhưng vì một lý do cụ thể là một vấn đề LOGSPACE cụ thể, cụ thể là cây đẳng cấu không thể. " Điều này về cơ bản nói rằng kết quả thực sự là về sự yếu kém của PURPLE + (tương ứng với trực giác ngây thơ của thuật toán logspace) chứ không phải là điểm yếu của L ...

L \neq P

$L \neq P$

— Joshua Grochow

3

Sự phức tạp mô tả đã cố gắng cung cấp một số câu trả lời.

FO (logic đơn hàng đầu tiên), với ord (Trật tự của tên miền) và TC (bắc cầu đóng cửa) . $= L$

FO + ord + LFP (điểm cố định ít nhất) . $= P$

Vì vậy, câu hỏi đặt ra - Là FO + ord + TC FO + ord + LFP? $\subset$

Mặt khác, FO + LFP (không có ord) thậm chí không thể đếm được! Ví dụ, không thể diễn tả thực tế rằng tính chính xác của miền là chẵn. Logic này chắc chắn không thể bắt được - nhưng câu hỏi là, nó có thể bắt hay không? $P$ $L$ $NL$

Xem ví dụ http://www.cs.umass.edu/%7Eimmerman/pub/EATCScolumn.pdf

Và sau đó, logic thứ hai (SO) + Horn bắt được P, trong khi SO + Krom bắt NL. Xem Erich Gradel, Nắm bắt các lớp phức tạp bằng các đoạn logic bậc hai , Khoa học máy tính lý thuyết, 1992.

— Martin Seymour
nguồn

3

FO + LFP mà không đặt hàng chắc chắn không thể nắm bắt , bởi chính lý do bạn trích dẫn: nó không thể đếm được, thậm chí không phải modulo 2.

L

$\mathsf{L}$

— Jan Johannsen

Đồng ý. Sau đó, câu hỏi (hay đúng hơn, một trong những câu hỏi) là - Có phải FO + LFP (không có mệnh lệnh) là một tập hợp con nghiêm ngặt của FO + LFP (có mệnh lệnh) không?

— Martin Seymour

0

Đây thực sự không phải là một câu trả lời, nhưng như được mô tả ở đây, tôi tin rằng đối với vấn đề -complete có thể định nghĩa một số "thước đo độ phức tạp" trong các trường hợp để giải quyết một trường hợp phức tạp sẽ yêu cầu không gian . Nếu đúng điều này sẽ ngụ ý sự tách biệt mong muốn; nếu chúng tôi xác định một biện pháp như vậy, có vẻ như trong tầm với để ràng buộc sự phức tạp không gian đơn điệu của các trường hợp và điều này sẽ đưa ra bằng chứng hữu hình rằng chúng tôi đang đi đúng hướng - mặc dù việc hiển thị một ràng buộc không đơn điệu rõ ràng khó hơn nhiều. $\sf{P}$ $\sf{GEN}$ $k$ $\Theta(k \log n)$

— NisaiVloot
nguồn