Rào cản để phân tách các lớp phức tạp khác

Đỗ Tự Nhiên Giấy tờ chứng minh , Relativization và Algebrization cũng ảnh hưởng đến tách các lớp phức tạp khác như vv?$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$

Ví dụ chứng minh tự nhiên rào cản ảnh hưởng đến bất kỳ bằng chứng về vì nó sẽ tách P ≠ N P . Tuy nhiên mối quan hệ giữa N P và C o N P dường như không có nhiều với OWFs so với mối quan hệ giữa P và N P . Vậy các bằng chứng tự nhiên có ảnh hưởng đến sự phân tách mạnh hơn của N P ≠ C o N P không?$NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

Có (ít nhất) hai lĩnh vực mà các rào cản hiện tại có rất ít điều để nói:

Giới hạn dưới của ACC Không có rào cản nào được chứng minh là chứng minh rằng TC0 không nằm trong ACC (không đồng nhất) - ngoài khả năng phân tách có thể là sai. Không rõ liệu hàng rào Bằng chứng Tự nhiên có nên áp dụng cho ACC hay không. Câu hỏi đặt ra là: chúng ta có nên hy vọng sẽ có các chức năng giả ngẫu nhiên có thể thực hiện được trong ACC không?

LOGSPACE vs NP Như Fortnow đã chỉ ra , các cơ chế tiên tri hiện tại cho tính toán giới hạn không gian dường như không phải là một rào cản thực sự đối với LOGSPACE so với NP. Theo hiểu biết của tôi, các mô hình nhà tiên tri đã biết dẫn đến sự sụp đổ của LOGSPACE và NP cũng sụp đổ ALTERNATING LOGSPACE (nghĩa là P) và ALTERNATING POLYTIME (ví dụ, PSPACE), do đó các nhà tiên tri này đối xử với các mô hình tính toán xen kẽ với thực tế (vì LOGSPACE không tương đương với thực tế tới PSPACE).

Kết quả của Razborov và Rudich trong giấy chứng minh tự nhiên của họ khá chung chung. Nó không giới hạn để vs N P .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Cá nhân tôi thích sự rõ ràng của lời giải thích trong cuốn sách gần đây của Stasys Jukna "Độ phức tạp của chức năng Boolean: Những tiến bộ và biên giới ":

Định nghĩa 18.30. Hàm với l < n được gọi là trình tạo giả ngẫu nhiên ( s , ϵ ) -secure nếu cho bất kỳ mạch C có kích thước s trên n biến, | P r [ C ( y ) = 1 ] - P r [ C ( G $G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$$l < n$$(s,\epsilon)$$C$$s$$n$ trong đó y được chọn thống nhất ngẫu nhiên trong { 0 , 1 } n và x trong { 0 , 1 } l .

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ $y$$\{0,1\}^n$$x$$\{0,1\}^l$

Định nghĩa 18.31. Đặt là hàm boolean. Chúng ta nói rằng f là ( s , ϵ ) -hard nếu với bất kỳ mạch C nào có kích thước s , | P r [ C ( x ) = f ( x ) ] - $f : {0,1}^n \to {0,1}$$f$$(s,\epsilon)$$C$$s$ trong đóxđược chọn thống nhất ngẫu nhiên trong{0,1}n.

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ $x$$\{0,1\}^n$

Trình tạo hàm giả ngẫu nhiên là hàm boolean . Bằng cách đặt các biến y một cách ngẫu nhiên, chúng ta có được hàm con ngẫu nhiên f y ( x ) = f ( x , y ) . Đặt h : { 0 , 1 } n → { 0 , $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$$y$$f_y(x) = f(x,y)$ là một hàm boolean thực sự ngẫu nhiên. Một máy phát điện f ( x , y ) là an toàn chống lại Γ -attacks nếu cho mỗi mạch C trong Γ , | P r [ C ( f y ) = 1 ] - P r [ C ( h ) = 1 ] | < 2 - n 2$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x,y)$$\Gamma$$C$$\Gamma$

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

Một bằng chứng chống lại -natural Λ là một tài sản Φ : B n → 0 , 1 thỏa mãn ba điều kiện sau: 1. Tính hữu dụng đối với Λ : Φ ( f ) = 1 có nghĩa f ∉ Λ . 2. sự khoan hồng: Φ ( f ) = 1 trong vòng ít nhất 2 - O ( n ) phần của tất cả 2 2 n chức năng f $\Gamma$$\Lambda$$\Phi : B_n \to {0,1}$
$\Lambda$$\Phi(f) = 1$$f \notin \Lambda$
$\Phi(f) = 1$$2^{−O(n)}$$2^{2^n}$ . 3. Constructivity: Φ ∈ Γ , có nghĩa là, khi xem xét như là một hàm boolean trong N = 2 n biến, thuộc tính Φ bản thân thuộc về tầng lớp Γ . $f \in B_n$
$\Phi \in \Gamma$$N = 2^n$$\Phi$$\Gamma$

Định lý 18,35. Nếu một lớp phức tạp chứa một máy phát điện chức năng giả ngẫu nhiên mà là an toàn chống lại Γ-tấn công, sau đó không có Γ bằng chứng chống lại -natural Λ .$\Lambda$$\Gamma$$\Lambda$

Câu hỏi là: 1. Chúng ta có tin nếu có những chức năng cứng như vậy không? 2. Làm thế nào mang tính xây dựng / lớn để chúng ta mong đợi các tính chất trong các bằng chứng phân tách hiện có thể là?

Mặt khác, Razbarov đã đề cập ở nhiều nơi mà cá nhân ông xem kết quả là hướng dẫn cho những gì cần tránh và không phải là một trở ngại thiết yếu để chứng minh giới hạn dưới.

Ngoài những bài báo của Ryan Williams trong vài năm qua, có hai bài báo mà anh đã đề cập:

1. $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

2. $\mathsf{NC^1}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{TC^0}$

Thuyết tương đối hóa và Đại số hóa phức tạp hơn một chút và phụ thuộc vào cách chúng ta định nghĩa việc tái kích hoạt cho các lớp này. Nhưng như một quy tắc chung, đường chéo đơn giản (một đường chéo sử dụng cùng một ví dụ đối với tất cả các máy tính cùng một hàm, tức là ví dụ ngược lại chỉ phụ thuộc vào máy nào trong máy tính nhỏ hơn và không phụ thuộc vào mã của chúng và cách chúng tính toán ) không thể tách các lớp này.

Có thể trích xuất các hàm đường chéo không đơn giản từ các kết quả đường chéo gián tiếp như giới hạn không gian thời gian cho SAT.