Thuật toán thời gian tuyến tính để tìm tối đa thay đổi

Giả sử rằng chúng ta được cung cấp một mảng $A[1..n]$ có chứa các số nguyên không âm (không nhất thiết phải khác biệt).

Đặt $B$ là được $A$sắp xếp theo thứ tự không tăng. Chúng tôi muốn tính

Giải pháp rõ ràng là sắp xếp $A$ và sau đó tính $m$ . Điều này đưa ra một thuật toán chạy trong thời gian $O(n \lg n)$ trong trường hợp xấu nhất.

Có thể làm tốt hơn? Chúng ta có thể tính $m$ trong thời gian tuyến tính không?

Câu hỏi chính của tôi là một ở trên. Nhưng sẽ rất thú vị khi biết về khái quát hóa vấn đề sau đây.

Đặt $B$ là A được $A$sắp xếp theo một số phép so sánh $\leq$ và $f$ một hàm được đưa ra bởi một lời tiên tri. Cho $A$ và các phép lạ cho $\leq$ và $f$ , chúng ta có thể nói gì về thời gian cần thiết để tính $m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$ ?

Chúng ta vẫn có thể tính $m$ trong thời gian $O(n \lg n)$ . Nhưng chúng ta có thể chứng minh một siêu tuyến tính giới hạn thấp hơn cho trường hợp tổng quát này không?

Nếu câu trả lời là có thì giữ giới hạn dưới nếu chúng ta giả sử rằng là thứ tự thông thường trên các số nguyên và là một hàm "đẹp" (đơn điệu, đa thức, tuyến tính, v.v.)?$\leq$$f$

Chúng ta có thể tính trong thời gian tuyến tính.$m$

Để đơn giản, giả sử rằng các mảng là 0 dựa: , . Chúng tôi muốn tính .$A[0..n-1]$$B[0..n-1]$$m = \max_i B[i]+i$

Đặt . Rõ ràng là .$max = \max_i A[i]$$max \leq m$

Đặt là sau khi sắp xếp. Nếu ta có $A[j]$$B[k]$$A[j] \leq max - n$

Do đó, chúng ta có thể bỏ qua khi . Chúng ta chỉ cần xem xét các số trong phạm vi .$A[j]$$A[j] \leq max - n$$[max-n, max]$

Chúng ta có thể sử dụng sắp xếp đếm để sắp xếp các số trong nằm trong phạm vi trong thời gian tuyến tính và sử dụng danh sách được sắp xếp để tính .$A$$[max-n, max]$$m$

Nếu mảng bao gồm các số nguyên riêng biệt, thì , vì khoảng cách giữa các mục liền kề trong ít nhất là ; tình hình thú vị hơn khi chúng không cần phải khác biệt.$A$$m = \max(A) + 1$$B$$1$

Đối với câu hỏi chung hơn của bạn, hãy tưởng tượng một tình huống trong đó chỉ "thú vị" khi . Dường như có thể xây dựng một đối số nghịch cảnh buộc bạn phải truy vấn cho tất cả trước khi bạn có thể biết , do đó bạn cần sắp xếp để tìm câu trả lời, trong đó có so sánh . (Có một số biến chứng vì có thể là trường hợp chúng ta có thể kiểm tra xem không đổi thay vì thời gian tuyến tính bằng cách truy vấn .) Đây là trường hợp ngay cả khi là một đa thức (mức độ cao).$f(B[i],j)$$i = j$$f(B[i],i)$$i$$\max_i f(B[i],i)$$A$$\Omega(n\log n)$$A[i] = B[j]$$f(A[i],j)$$f$