Đồ trang sức đơn điệu giữa các danh sách các khoảng

Tôi có vấn đề sau:

Đầu vào: hai bộ khoảng và (tất cả các điểm cuối là số nguyên). Truy vấn: có một mệnh đề đơn điệu không? $S$ $T$
$f:S \to T$

Các song ánh là đơn điệu wrt tập để phát trên và . $S$ $T$

\forall X \subseteq Y \in S, f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y)$

[Tôi không yêu cầu điều kiện ngược lại ở đây. Cập nhật: nếu điều kiện ngược lại đã được yêu cầu, ví dụ, , thì đây sẽ là trong ptime vì nó số tiền để thử nghiệm đẳng cấu của posets bao gồm tương ứng (trong đó có thứ tự 2 theo cách xây dựng), trong PTIME của Möhring, Các lớp có thể tính toán được của các bộ được đặt hàng , Định lý 5.10, tr. 61. $\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

Vấn đề là ở : chúng ta có thể kiểm tra hiệu quả nếu một nhất định là một mệnh đề đơn điệu. $\mathsf{NP}$ $f$

Có một thuật toán đa thức thời gian cho vấn đề này? Hay là -hard? $\mathsf{NP}$

Câu hỏi có thể được nói một cách tổng quát hơn là sự tồn tại của một đơn vị đơn điệu giữa hai vị trí đặt cho chiều thứ tự 2.

Sử dụng một giảm được lấy cảm hứng từ các câu trả lời cho câu hỏi này , tôi biết rằng vấn đề là -hard khi kích thước không bị hạn chế. Tuy nhiên, không rõ liệu việc giảm cũng sẽ hoạt động khi kích thước bị hạn chế. $\mathsf{NP}$

Tôi cũng quan tâm để biết về khả năng di chuyển khi kích thước chỉ bị giới hạn bởi một số hằng số tùy ý (không chỉ 2).

— a3nm
nguồn

S

$S$

I_{1}, I_{2}, . . ., I_{n}

$I_1,I_2,...,I_n$

n + 1

$n+1$

I_{i} \subseteq I_{j}

$I_i \subseteq I_j$

(I_{j} \to I_{i})

$(I_j \rightarrow I_i)$

I_{i} \subseteq I_{j_{1}}, . . ., I_{j_{m}}

$I_i \subseteq I_{j_1},...,I_{j_m}$

| I_{j_{1}} | = | I_{j_{2}} | = . . . = | I_{j_{m}} |

$|I_{j_1}|=|I_{j_2}|=...=|I_{j_m}|$

(I_{j_{k}} \to I_{i})

$(I_{j_k} \rightarrow I_i)$

T

$T$

Một khoảng có thể được bao gồm trong nhiều khoảng không thể so sánh được, ví dụ [2, 3] được bao gồm trong [1, 3] và [2, 4], vì vậy tôi nghĩ rằng việc xây dựng cây của bạn sẽ không mang lại một cây mà là đồ thị theo chu kỳ có hướng. Việc kiểm tra xem hai DAG có phải là đẳng cấu (hay đúng hơn là có thể nhúng theo nghĩa tôi đang hỏi không) nói chung là NP-hard.

— a3nm

Bạn nói đúng, cách tiếp cận trên không đúng!

— Marzio De Biasi

\forall X, Y, X \subseteq Y \Leftrightarrow f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$

@ MohammadAl-Turkistany: cf cuộc thảo luận trong các bình luận về câu trả lời của Marzio

— a3nm

Đây là một nỗ lực để chứng minh rằng vấn đề không có điều kiện ngược lại là NP-hard.

$S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

$T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

$3m$ $A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$ $B$ $m$ $A_1,...,A_m$ $A_i$ $B$

$max = \sum a_i + 3m$

$S$ $3m$ $BI_i$ $3*max$ $max$ $BI_i$ $a_i$ $L$ $BI_i$ (đường màu xanh trong hình).

$T$ $L$ $m$ $G_j$ $G_j$ $B$

Giả sử rằng tồn tại một sự chọn lọc giữa S và T để duy trì sự bao gồm khoảng thời gian (theo một hướng từ S đến T).

$max$ $BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$ $S$ $G_j$ $BI_{j_k}$ $G_j$

Theo cách tương tự, có thể chứng minh rằng nếu tồn tại một mệnh đề thì vấn đề phân vùng 3 đơn nguyên ban đầu có một giải pháp.

nhập mô tả hình ảnh ở đây $m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

Lưu ý: như đã thấy trong các nhận xét, các khoảng màu xanh lam L trong S và T không cần thiết cho việc giảm.

$I_i \subseteq I_j$ $(I_j \rightarrow I_i)$

— Marzio De Biasi
nguồn

Vâng, có vẻ như điều này là chính xác, cảm ơn rất nhiều! (Chỉ là một nhận xét: khoảng thời gian màu xanh không bắt buộc để thực hiện giảm hoạt động, tôi nghĩ vậy.) Tôi sẽ chấp nhận sớm trừ khi tôi tìm thấy lý do để nghi ngờ rằng việc giảm này hoạt động.

— a3nm

@ a3nm: có nhưng tôi đã phát hiện ra nó sau khi vẽ hình :-). Tôi vẫn không chắc chắn 100% rằng không có lỗi ẩn trong việc giảm (hơn nữa đây là lần thứ hai sau hai tuần tôi tìm thấy một bằng chứng hoàn chỉnh NP sử dụng phân vùng 3 đơn nguyên ... rất lạ :-)

— Marzio De Biasi

Không, có vẻ đúng: rõ ràng một giải pháp cho phân vùng 3 mang lại giải pháp cho vấn đề khoảng. Bây giờ, đi từ bài toán khoảng đến phân vùng 3: nhất thiết là ánh xạ khoảng thời gian ánh xạ các khoảng màu đỏ thành các khoảng màu đỏ (vì các kim tự tháp đánh dấu); cùng một số khoảng thời gian màu đỏ vì vậy khoảng thời gian là màu đỏ nếu hình ảnh được ánh xạ. Các điểm đánh dấu được ánh xạ tới khoảng màu đỏ bên phải (vì nếu không, đó là hậu duệ và mức tối thiểu). Bây giờ nếu màu đỏ được ánh xạ thành màu đỏ và các điểm đánh dấu được ánh xạ như mong đợi, các số phải khớp, vì vậy chúng tôi có một phân vùng chính xác. Tôi nghĩ rằng nó có ý nghĩa!

— a3nm

@ a3nm: Tôi thấy rằng bạn đã chấp nhận câu trả lời; Bạn có nghĩ rằng kết quả nó đủ thú vị để viết một bài báo chung không?

— Marzio De Biasi

T

$T$

f

$f$