Mạch Boolean nhỏ nhất để tạo ngôn ngữ

Xét một ngôn ngữ không trống của các chuỗi nhị phân có độ dài n . Tôi có thể mô tả L với mạch Boolean C với n đầu vào và một đầu ra sao cho C ( w ) là đúng iff w ∈ L : điều này là nổi tiếng.$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

Tuy nhiên, tôi muốn đại diện cho với một Boolean mạch C ' với n đầu ra và một số lượng nhất định của đầu vào, nói m , như vậy các thiết lập các giá trị đầu ra của C ' cho mỗi 2 m đầu vào có thể là chính xác L .$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

Với , làm thế nào tôi có thể tìm thấy như một mạch C ' kích thước tối thiểu, và sự phức tạp là gì? Có bất kỳ mối quan hệ nào giữa các giới hạn đã biết về kích thước của các mạch loại thứ nhất ( C ) và các mạch thuộc loại thứ hai này ( C ′ ), hay sự phức tạp của việc tìm kiếm chúng?$L$$C'$$C$$C'$

(Quan sát rằng có một số loại đối ngẫu theo nghĩa sau: được đưa ra , tôi có thể dễ dàng quyết định nếu một từ đầu vào w có trong L bằng cách đánh giá mạch, nhưng nói chung NP-hard tìm một từ nào đó trong L bằng cách tìm một bài tập như vậy mà đầu ra là đúng sự thật. với C ' nên nó cũng là NP-khó để quyết định xem một số từ đầu vào w là trong L bởi vì tôi có để xem nếu chuyển nhượng sản lượng w như đầu ra, nhưng nó rất dễ dàng để tìm thấy một số từ trong L bằng cách đánh giá mạch trên bất kỳ đầu vào tùy ý.)$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

Tôi sẽ chỉ ra một kết nối đơn giản với các mạch không xác định và nhận xét ngắn gọn về độ cứng của mật mã.

Đối với , xác định độ phức tạp hình ảnh, ký hiệu là i m c ( S ) , như số lượng tối thiểu của các cổng trong bất kỳ (fanin hai, VÀ / HOẶC / KHÔNG) Boolean mạch C : { 0 , 1 } m → { 0 , 1 } n mà hình ảnh là S . Câu hỏi hỏi về sự phức tạp của điện toán i m c ( S ) , được đưa ra một biểu diễn bảng chân lý của $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$(một chuỗi có độ dài ).$2^n$

Đồng thời xác định độ phức tạp mạch không điều kiện của , chúng ta sẽ biểu thị n c c ( S ) , là mạch không điều kiện nhỏ nhất C ( x , y ) : { 0 , 1 } n + m ′ → { 0 , 1 } chấp nhận chính xác S . Đó là, chúng tôi yêu cầu C rằng x ∈ S iff ∃ y : C ( $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$ . Đây là một khái niệm tiêu chuẩn, được sử dụng để xác định lớp không đồng nhất N P / p o l y : nó là lớp của tất cả các tập S = { S n } n > 0 , với S n ⊆ { 0 , 1 } n , mà n c c ( S n ) ≤ p o l y ( n ) .$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

Điều tôi muốn chỉ ra là . Cả hai hướng của sự bất bình đẳng này là đơn giản để xác minh. $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

Gọi biểu thị độ phức tạp của mạch xác định. Sử dụng Razborov-Rudich, bài báo mà Dai Le đề cập (nói đại khái ở đây) rằng theo các giả định về mật mã học, thật khó để phân biệt các bảng chân lý của S với d c c ( S ) nhỏ, từ các bảng chân lý thực sự ngẫu nhiên S (với d c c ( S ) gần cực đại). S ngẫu nhiên cũng có n c c ( S ) gần như tối đa, và tất nhiên chúng ta có$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$ . Vì vậy, vấn đề của bạn là khó khăn theo các giả định tương tự.$ncc(f) \leq dcc(f)$

Cái nào khó tính hơn khi đưa ra một bảng chân lý cho , d c c ( S ) hoặc n c c ( S ) ? Có cách nào giảm không? Tôi không biết.$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Bạn nên xem bài báo này của Kabanets và Cai. Tôi sẽ trích dẫn bản tóm tắt của bài báo:

$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

$C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$