Tìm số chu kỳ có độ dài

Chúng ta có thuật toán thời gian để xác định xem đồ thị có chu kỳ có độ dài chính xác . Làm sao chúng ta có thể tìm thấy bao nhiêu như vậy -cycles có mặt trong sử dụng cùng một hoặc bất kỳ thuật toán khác.$f(k) n^3$$G$$k$$k$$G$

Khi là một phần của đầu vào, vấn đề quyết định xem G có chứa chu kỳ đơn giản có độ dài k là NP-đầy đủ hay không. Với mỗi k cố định , vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian O ( V E ) hoặc thời gian O ( V ω log V ) . Flum và Grohe [1] đã chỉ ra rằng việc đếm các chu kỳ và đường dẫn có độ dài k trong cả đồ thị có hướng và không có hướng, được tham số hóa bởi k , là #W [1] -complete.$k$$G$$k$$k$$O(VE)$$O(V^\omega \log V)$$k$$k$

Đối với , người ta có thể đếm k -cycles trong O ( V ω ) thời gian, nơi ω < 2.376 là số mũ của nhân ma trận. Đây là kết quả của Alon, Yuster và Zwick [2]. Tờ báo này cũng chứa các phương pháp cho việc tìm kiếm chu kỳ đơn giản có độ dài chính xác k , nơi k ≥ 3 .$3 \leq k \leq 7$$k$$O(V^\omega)$$\omega < 2.376$$k$$k \geq 3$

[1] Flum, Jörg và Martin Grohe. "Sự phức tạp tham số hóa của các vấn đề đếm." Tạp chí SIAM về máy tính 33.4 (2004): 892-922.

[2] Alon, Noga, Raphael Yuster và Uri Zwick. "Tìm và đếm chu kỳ chiều dài cho trước." Thuật toán 17.3 (1997): 209-223.

Như Juho đã chỉ ra, vấn đề được biết đến là #W [1] - được hoàn thành bởi công việc của Flum và Grohe. Tuy nhiên, tồn tại một sơ đồ xấp xỉ ngẫu nhiên chạy trong thời gian FPT và trả về một ước tính là một yếu tố từ giải pháp chính xác với xác suất cao. Xem "Thuật toán xấp xỉ cho một số vấn đề đếm tham số", của Arvind và Raman, ISAAC 2002.$(1+\epsilon)$

$k$$f(k)n^{\lceil k/2 \rceil+3}$