Chính xác phức tạp của một vấn đề trong

9

Đặt $x_i \in \{-1,0,+1\}$ cho $i \in \{1,\ldots,n\}$ , với lời hứa rằng $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (trong đó tổng là trên $\mathbb{Z}$ ). Vậy thì độ phức tạp của việc xác định nếu $x = 1$ gì?

$\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ $x \equiv 1\bmod{m}$ $x = 1$ $\mathsf{AC}^0$

— SamiD
nguồn

Vấn đề này có thể là tầm thường nhưng tôi không biết câu trả lời và sẽ rất thích thú khi biết nó.

— SamiD

7

Bạn có thể sử dụng đối số bổ đề chuyển đổi thông thường. Bạn chưa giải thích cách bạn thể hiện đầu vào của mình ở dạng nhị phân, nhưng theo bất kỳ mã hóa hợp lý nào, hàm sau là AC tương đương với hàm của bạn: (Chúng tôi giả định rằng là số chẵn.) Sau những bài giảng , giả sử rằng có thể được tính bằng độ sâu mạch kích thước . Sau đó, một hạn chế ngẫu nhiên của đầu vào để lại nhiều nhất là một hàm của độ phức tạp của cây quyết định $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ với xác suất ít nhất . Một tính toán có thể sẽ cho thấy đây là một trường hợp khác của (trên kích thước đầu vào nhỏ hơn) với xác suất , và do đó, có một số hạn chế ngẫu nhiên mang lại cả một thể hiện của trên đầu vào và một hàm với độ phức tạp của cây quyết định không đổi, dẫn đến mâu thuẫn. Lập luận tương tự sẽ mang lại giới hạn theo cấp số nhân.

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— Yuval Filmus
nguồn

Tôi nghĩ rằng độ nhạy tổng của hàm này cũng sẽ là , vì vậy bạn có thể sử dụng nó để lấy giới hạn thấp hơn theo hàm mũ trong câu trả lời của tôi. Kết quả tôi trích dẫn ở đó sử dụng định lý Linial - Mansour - Nisan, bản thân nó sử dụng bổ đề chuyển đổi + giới hạn đơn giản trên phổ các hàm của độ phức tạp của cây quyết định thấp.

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— Sasho Nikolov

7

Tôi không nghĩ đây là AC0 và tôi có thể hiển thị giới hạn dưới cho vấn đề hứa hẹn liên quan để phân biệt giữa và , khi . Các kỹ thuật Fourier tương tự sẽ áp dụng cho vấn đề của bạn, nhưng tôi chưa xác minh điều đó. Hoặc có thể có một giảm đơn giản. $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

Giả sử có một kích thước chiều sâu mạch mà tính một hàm rằng đó bất cứ khi nào . Bởi vì đối với ngẫu nhiên , xác suất là và với mỗi như vậy có tọa độ thay đổi giá trị của , tổng ảnh hưởng của là $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$ , gần giống với đa số (vì bạn đã bao gồm hầu hết các đầu vào nhạy cảm của đa số). Theo một định lý của Hastad (xem Colorraly 2.5 trong ghi chú của Ryan O'Donnel ), điều này hàm ý rằng

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— Sasho Nikolov
nguồn