NP-hard có thể chơi bản nháp quốc tế một cách chính xác không?

Là vấn đề sau NP-cứng?

Với một cấu hình ban cho thảo quốc tế , tìm một động thái pháp lý duy nhất.$n\times n$

Vấn đề tương ứng đối với người kiểm tra người Mỹ (còn gọi là bản nháp tiếng Anh) có thể giải quyết được trong thời gian đa thức. Có ba sự khác biệt lớn giữa hai trò chơi này.$n\times n$

Sự khác biệt đầu tiên và có ý nghĩa nhất là quy tắc vua bay vua bay. Trong cờ đam, một vị vua có thể nhảy qua mảnh của đối thủ liền kề vào một ô vuông trống cách đó hai bước theo bất kỳ hướng chéo nào. Trong các bản nháp quốc tế, một vị vua có thể nhảy qua một mảnh của đối thủ một khoảng cách tùy ý bằng cách di chuyển một khoảng cách tùy ý dọc theo một đường chéo.

Như trong cờ đam, cùng một mảnh có thể được sử dụng để chụp một loạt các mảnh trong một lượt duy nhất. Tuy nhiên, không giống như người kiểm tra, các phần bị bắt trong bản nháp quốc tế không bị xóa cho đến khi toàn bộ chuỗi kết thúc. Mảnh bắt có thể nhảy qua hoặc hạ cánh trong cùng một ô trống nhiều lần, nhưng nó không thể nhảy qua mảnh của đối thủ nhiều lần.

Cuối cùng, cả người kiểm tra và bản nháp quốc tế đều có quy tắc bắt buộc: Nếu bạn có thể bắt được quân cờ của đối thủ, bạn phải. Tuy nhiên, các quy tắc quy tắc không đồng ý khi có một số tùy chọn cho nhiều. Trong trình kiểm tra, bạn có thể chọn bất kỳ trình tự chụp tối đa nào ; nói cách khác, bạn có thể chọn bất kỳ chuỗi chụp nào kết thúc khi mảnh chụp không thể chụp được nữa. Trong các bản nháp quốc tế, bạn phải chọn trình tự chụp dài nhất . Do đó, vấn đề của tôi tương đương như sau:

Với một cấu hình ban cho thảo quốc tế , tìm một động thái có ảnh chụp số lượng tối đa của phần đối lập.$n\times n$

Nó sẽ đủ để chứng minh rằng vấn đề sau đây là NP-đầy đủ. (Rõ ràng là trong NP.)

Với một cấu hình ban cho thảo quốc tế liên quan đến chỉ vua , có thể (và do đó phải) một chụp chơi tất cả các mẩu đối thủ của mình trong một lượt duy nhất?$n\times n$

Vấn đề kiểm tra tương ứng có thể được trả lời trong thời gian đa thức; đây là một bài tập về nhà giải trí. Vấn đề có vẻ giống với phân tích của Demaine, Demaine và Eppstein về các kết thúc Phutball ; một giải pháp cho bài tập về nhà giải trí xuất hiện ở cuối bài báo của họ. Một giải pháp cũng xuất hiện trong bài báo FOCS 1978 của Frankel et al. điều đó chứng tỏ rằng việc chơi cờ tối ưu là PSPACE-hard; xem thêm bằng chứng năm 1984 của Robson rằng người kiểm tra thực sự đã hoàn thành EXPTIME.

OK, đây là mức giảm. Hóa ra bạn không cần sự bình đẳng sau tất cả. Ngoài ra, đối với "tìm một động thái hợp pháp", tôi đưa ra câu hỏi quyết định là "di chuyển X có hợp pháp không?".

Đầu tiên, chúng ta hãy làm việc thay vì một trò chơi trong đó các mảnh di chuyển trực giao thay vì theo đường chéo. Trò chơi này tương đương (chỉ cần nhìn vào bảng nháp xoay 45 độ) ngoại trừ các thuộc tính cạnh mà chúng ta sẽ không sử dụng. Chúng tôi sử dụng hai tiện ích: hợp nhất / tách và chéo. Xem http://www.hearn.to/draughts.pdf . Chúng tôi cho rằng có một vị vua Trắng duy nhất trên bảng để di chuyển. (Không có mảnh nào khác có thể chụp được bất kỳ số lượng mảnh đáng kể nào.) Nó sẽ di chuyển qua các hành lang được chỉ định, chụp các mảnh màu đen trên đường đi.

Đầu tiên, hợp nhất: nếu nhà vua đi vào bất kỳ N đường A nào (thông qua việc bắt một mảnh màu đen, không hiển thị), nó có thể thoát ra ở B. Tương tự như vậy, nếu chúng ta đảo ngược tiện ích và nó đi vào B, chụp mảnh được hiển thị, nó có thể thoát dọc theo bất kỳ đường dẫn A nào (một lần nữa, chụp một mảnh màu đen bên ngoài). Đây là một tiện ích sử dụng một lần (vì phần đen thoát chỉ có thể được chụp một lần).

Thứ hai, chéo. Nếu nhà vua đi qua A (C), nó có thể thoát tại B (D). Nó không thể dừng ở giữa và thay đổi tuyến đường, bởi vì đó sẽ là phân khúc di chuyển không bắt được.

Bây giờ, được đưa ra một biểu đồ được định hướng, xây dựng một cấu hình trò chơi tương ứng như sau. Đối với mỗi đỉnh, xây dựng một phép hợp nhất sẽ chia thành một phần. Định tuyến các đầu ra phân tách đến các đầu vào hợp nhất của các tiện ích đỉnh (hợp nhất + tách) tương ứng với các đỉnh mà các cạnh thoát kết nối với, sử dụng chéo nếu cần. Bắt đầu vua trên một đầu vào bổ sung cho bất kỳ đỉnh nào (với một mảnh màu đen để chụp để cho nó vào đỉnh).

Cuối cùng, cân bằng tất cả các "độ dài cạnh" bằng cách thêm các mảnh màu đen bổ sung dọc theo đường dẫn đầu ra / đầu vào nếu cần. Nếu có các đỉnh V và k các mảnh màu đen dọc theo mỗi cạnh, thì nhà vua có thể chụp các mảnh 2V + kV + 1 khi và chỉ khi có một mạch Hamilton của đồ thị tương ứng. Nếu nhà vua có sẵn một động thái thay thế, nắm bắt một chuỗi đơn giản gồm các mảnh 2V + kV, sau đó xác định xem liệu động thái thay thế đó có hợp pháp hay không là NP-đầy đủ.

Đây là một giải pháp thay thế khả thi cho việc giảm thiểu của Bob, lần này là từ chu kỳ Hamilton (không bị ảnh hưởng). Tôi không tự tin 100% rằng các chi tiết là chính xác mà tôi đã tìm thấy và khắc phục một số vấn đề về cách thức nhưng tôi chắc chắn rằng nó có thể được đưa vào một bằng chứng chính xác. Như Bob chỉ ra, việc giảm này có một lỗi nghiêm trọng; vua trắng có thể dễ dàng đi lạc từ con đường kinh điển của nó thông qua bảng. Lỗi này có thể được khắc phục bằng cách thêm tiện ích chéo của Bob tại các vị trí thích hợp (tôi nghĩ) , nhưng sau đó nó không khác biệt đáng kể so với mức giảm của anh ta.

$G$$n$$m$$G$$-1$

$O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

$k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$

$hn^2+4n$$G$

Bây giờ tại sao bạn không đặt ra vấn đề này cho tôi khi tôi đang làm luận án?

OK, tôi có một giảm từ Chu kỳ Hamilton được chỉ đạo của Planar.