Các thuật toán chính xác cho Tập hợp thống trị r trên Đồ thị băng thông giới hạn

Cho một đồ thị, , tôi muốn tìm một tối ưu r -domination cho G . Đó là, tôi muốn có một tập con S của V sao cho tất cả các đỉnh trong G là ở khoảng cách tối đa là r từ một số đỉnh trong S , trong khi giảm thiểu kích thước của S .$G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$$S$

Từ những gì tôi đã kiểm tra cho đến nay, tôi đã nhận được như sau: Có một vấn đề liên quan đến việc tìm một trung tâm trong một biểu đồ là tập con S có kích thước tối đa k sao cho tất cả các đỉnh trong biểu đồ đều ở khoảng cách tối đa r từ một số đỉnh trong S (ở đây cả | S | ≤ k và r là một phần của đầu vào) mà Demaine et al . có thuật toán FPT cho đồ thị phẳng. Mặt khác, vấn đề là W [ 2 ] -hard cho chẵn r = 1 .$(k,r)$$S$$k$$r$$S$$|S| \leq k$$r$$W[2]$$r = 1$

Có bất cứ điều gì được biết về sự phức tạp chính xác của vấn đề -domination cho đồ thị chiều rộng cây bị chặn hay thậm chí chỉ là cây không? (Is r -domination MSO định nghĩa thông thường? K -dominating bộ vấn đề là MSO định nghĩa - mà sau đó sẽ cho phép một để sử dụng định lý Courcelle để kết luận rằng có một thuật toán thời gian tuyến tính cho các vấn đề). Có bất kỳ kết quả độ cứng có điều kiện được biết về vấn đề này?$r$$r$$k$

Một -domination (tối ưu) cho G là một sự thống trị (tối ưu) cho sức mạnh thứ $r$$G$$r$ và ngược lại ( G r thu được từ G bằng cách thêm các cạnh mới giữa các đỉnh khác biệt của khoảng cách r ).$G^r$$G^r$$G$$r$

Các sự kiện sau đây được biết đến nhiều: ) và (2) Sự thống trị có thể giải quyết được trong thời gian tuyến tính đối với các biểu đồ hợp âm mạnh (M. Farber. Sự thống trị, sự thống trị độc lập và tính đối ngẫu trong các biểu đồ hợp âm mạnh, Toán rời rạc, Toán học, 7 (1984) 115 .13030). Do đó -domination có thể giải được trong thời gian đa thức đối với các đồ thị hợp âm mạnh, đặc biệt là cho các cây ( r cố định hoặc không).$r$$r$

Gurski & Wanke chứng minh trong bài viết này là bè lũ chiều rộng của là tại hầu hết 2 ⋅ ( r + 1 ) tw ( G ) + 1 - 2 , nơi tw ( G ) là cây chiều rộng của G . Do đó, đối với r cố định , quyền hạn thứ r của đồ thị chiều rộng cây giới hạn đã giới hạn chiều rộng clique. Do đó, đối với r cố định , r -domination có thể giải được trong thời gian đa thức đối với các đồ thị chiều rộng cây bị giới hạn (theo định lý của Courcelle). $G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$$\text{tw}(G)$$G$$r$$r$$r$$r$

Nó khá dễ dàng để làm lập trình động trên đồ thị của treewidth cho vấn đề này. Người ta có thể giữ cho mỗi đỉnh trong một túi khoảng cách ngắn nhất đến một số đỉnh trong giải pháp một phần và khoảng cách đến giải pháp trong tương lai cần thiết để thống trị các đỉnh không bị khuất phục.$k$

Tổng cộng điều này cho kích thước bảng là vì vậy đối với r cố định , vấn đề này được FPT tham số hóa bởi treewidth, tuy nhiên nếu r không được sửa thì điều này trở thành thuật toán XP. Theo tôi biết câu hỏi liệu vấn đề này có phải là FPT cho tất cả các giá trị của r đã mở không.$O(r^k)$$r$$r$$r$

Dawar và Kreutzer đã chỉ ra rằng vấn đề là có thể điều chỉnh tham số cố định trên các lớp đồ thị dày đặc, bao gồm các đồ thị phẳng, đồ thị có độ rộng cây (cục bộ) giới hạn và tất cả các lớp có vị thành niên bị loại trừ (cục bộ).

Dvorak đã chỉ ra rằng có một xấp xỉ hệ số xấp xỉ hằng số thời gian đa thức cho các lớp mở rộng giới hạn, bao gồm các đồ thị phẳng, đồ thị có chiều rộng cây giới hạn và tất cả các lớp có vị thành niên bị loại trừ.

Có một bài báo gần đây của Glencora Borradaile, Hung Le: Chương trình năng động tối ưu cho các vấn đề thống trị r trên sự phân hủy cây (IPEC 2016). Ở đây họ thấy rằng có một thuật toán đó được đưa ra như là đầu vào một đồ thị , một số nguyên r , và một cây phân hủy của G chiều rộng w , tính ra một tối ưu r -dominating bộ G trong thời gian O ( ( 2 r + 1 ) w n ) . Hơn nữa, họ cho thấy rằng đây là cách tốt nhất có thể làm, theo nghĩa sau: thuật toán có thời gian chạy O ( ( $G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$ cho ε > 0 sẽ mâu thuẫn với Mạnh Exponential Time Giả thuyết.$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$$\epsilon > 0$

Một thuật toán tuần tự tuyến tính để tính toán sự thống trị r tối ưu cho cây là do Slater:

P. Slater. Sự thống trị R trong đồ thị. J. ACM, 23 (3): 446 Điện450, tháng 7 năm 1976. doi: 10.1145 / 321958.321964

Một thuật toán phân tán cho cùng một cài đặt là do Turau và Köhler:

Volker Turau và Sven Köhler. Một thuật toán phân tán cho sự thống trị khoảng cách tối thiểu-k trong cây. Tạp chí thuật toán và ứng dụng đồ thị, 19 (1): 223 Từ242,5 (xem http://jgaa.info/getPaper?id=354 )