Hyperdoctrines và logic thứ hai đơn âm

Câu hỏi này thực chất là câu hỏi tôi đã hỏi trên Mathoverflow.

Logic đơn hàng thứ hai (MSO) là logic thứ hai với định lượng trên các vị từ đơn nhất. Đó là, định lượng qua bộ. Có một số logic MSO là nền tảng cho các cấu trúc được nghiên cứu trong khoa học máy tính.

Câu hỏi 1. Có một ngữ nghĩa phân loại cho Logic lôgic bậc hai không?

Câu 2. Các phương pháp điều trị logic phân loại thường nói về "logic trực giác bậc cao". Tôi có đúng không khi cho rằng họ đang đề cập đến các hàm bậc cao hơn là định lượng trên các vị từ bậc hai?

Câu hỏi 3. (Added, ngày 08 tháng 11 2013, sau khi trả lời Neel của) sự hiểu biết của tôi về bậc nhất định lượng (về mặt trình bày của Pitts đề cập dưới đây) là nó được xác định đối với các pullback với của một chiếu cấu xạ . Cụ thể, lượng phổ cập được hiểu như là sự liên hợp bên phải của và định lượng hiện sinh được hiểu như là các liên hợp trái của . Các điều chỉnh này phải đáp ứng một số điều kiện, mà đôi khi tôi đã gọi là điều kiện Beck-Chevalley và Frobenius-Reciprocity. $\pi^*$ $\pi$ $\pi^*$ $\pi^*$

Bây giờ nếu chúng ta muốn định lượng hơn các vị từ tôi giả sử tôi thuộc thể loại đóng của Cartesian, ảnh gần giống nhau, ngoại trừ bên dưới có cấu trúc khác so với trước. $X$

\exists_{I, X}, \forall_{I, X} : P_{C} (I \times X) \to P_{C} (I)

$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$

Có đúng không?

Tôi tin rằng khối tâm thần của tôi là bởi vì trước đây tôi đã giao dịch với các hyperdoctrines bậc nhất và không cần thể loại này phải đóng cửa Cartesian và không xem xét nó sau này.

Bối cảnh và bối cảnh. Tôi đã làm việc với bài thuyết trình về logic phân loại của Andy rãnh trong bài viết Sổ tay logic về khoa học máy tính của mình , nhưng tôi cũng quen với việc xử lý lý thuyết Tripos trong luận án tiến sĩ của mình, cũng như các ghi chú của Awodey và Bauer. Tôi bắt đầu nghiên cứu Danh mục các loại của Crole và cuốn sách của Lambek và Scott nhưng đã được một thời gian kể từ khi tôi tham khảo hai văn bản cuối cùng.

Để có động lực, tôi quan tâm đến loại logic MSO xuất hiện trong các định lý dưới đây. Tôi không muốn đối phó với một logic tương đương rõ ràng với một trong số đó. Có nghĩa là, tôi không muốn mã hóa các vị từ đơn âm theo các hàm bậc cao hơn và sau đó xử lý một logic khác, nhưng tôi rất vui khi nghiên cứu một ngữ nghĩa bao gồm một mã hóa như vậy dưới mui xe.

(Định lý Buechi và Elgot) Khi vũ trụ của các cấu trúc là các từ hữu hạn trên một bảng chữ cái hữu hạn, một ngôn ngữ là chính xác nếu nó có thể xác định được trong MSO với một vị ngữ được diễn giải để diễn đạt các vị trí liên tiếp.
$\omega$ $\omega$
(Định lý Thatcher và Wright) Một tập hợp các cây hữu hạn có thể được nhận ra bởi một máy tự động hữu hạn từ dưới lên chính xác nếu nó có thể xác định được trong MSO với một vị từ được giải thích.
WS1S là lý thuyết thứ hai yếu thứ hai của một người kế nhiệm. Các công thức xác định các tập hợp số tự nhiên và biến thứ tự thứ hai chỉ có thể được hiểu là tập hữu hạn. WS1S có thể được quyết định bởi automata hữu hạn bằng cách mã hóa các bộ số tự nhiên thành các từ hữu hạn.
(Định lý Rabin) S2S là lý thuyết bậc hai của hai người kế vị. S2S có thể được quyết định bởi Rabin automata.

lo.logic ct.category-theory

— Vijay D
nguồn

Tôi không biết!
Không, giả định của bạn là không đúng. Bạn có thể định lượng qua các hàm và biến vị ngữ bậc cao trong IHOL (trên thực tế, các biến vị ngữ chỉ là các hàm thành một loại mệnh đề). Các thiết lập trông hơi giống như thế này:

$\begin{array}{llcl} Sort & ω & ::= & ω \to ω | ω \times ω | 1 | p r o p | ι \\ Term & t & ::= & x | λ x . t | t t^{'} | (t, t) | π_{1} (t) | π_{2} (t) | () \\ | & p \Rightarrow q | ⊤ | p \land q | ⊥ | p \lor q \\ | & \forall x : ω . p | \exists x : ω . p | t =_{ω} t^{'} \\ | & f (\vec{t}) \end{array}$ $\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$

$\mathrm{prop}$ $\iota$

$P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$ $C$

Để đến IHOL, bạn cũng khẳng định rằng

$C$
$C$ $H$ $\Gamma \in C$ $\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$ $H$ $\mathrm{prop}$ $\mathrm{prop}$

$P(\Gamma)$ $\Gamma$

— Neel Krishnaswami
nguồn