(Sai?) Bằng chứng cho khả năng tính toán của hàm?

Xem xét , một hàm trả về 1 khi và chỉ khi n số không xuất hiện liên tiếp trong π . Bây giờ ai đó đã cho tôi một bằng chứng rằng f ( n ) có thể tính toán được:$f(n)$$n$$\pi$$f(n)$

Hoặc cho tất cả n, xuất hiện trong π hoặc có st 0 m xuất hiện trong π và 0 m + 1 thì không. Đối với khả năng đầu tiên f ( n ) : = 1 ; Đối với cái thứ hai f ( n ) : = 1 iff n ≤ m , 0 nếu không.$0^n$$\pi$$0^m$$\pi$$0^{m+1}$$f(n) := 1$$f(n) := 1$$n \leq m$

Tác giả cho rằng điều này chứng tỏ khả năng tính toán của , vì tồn tại một thuật toán để tính toán nó.$f(n)$

Bằng chứng này có đúng không?

Hãy suy nghĩ về nó theo cách này, Mike: bằng chứng này được "phân nhánh" vào nhiều trường hợp có thể, một trong số đó có đến mức khó tin (sử dụng pháp luật của trung loại trừ khả năng cho mỗi đề xuất , hoặc p là đúng hay ¬ p là đúng). Nhưng ở cuối mỗi nhánh này, bạn luôn quản lý để chứng minh rằng hàm f có thể tính toán được. Do đó, bất kể trường hợp nào thực sự xảy ra trong cuộc sống thực, f phải được tính toán. (Tuy nhiên, lý do chính xác tại sao f có thể tính toán được sẽ khác nhau, tùy thuộc vào chi nhánh.)$p$$p$$\neg p$$f$$f$ $f$

Đúng rồi. Điều này tương tự như sau: define là hàm số liên tục x ↦ 0 nếu Thiên Chúa hiện hữu, và x ↦ 1 nếu Thiên Chúa không tồn tại. Hàm kết quả là một hàm hằng, do đó có thể tính toán được. Những gì bạn có thể không thể làm là cung cấp cho chức năng đó, nhưng bản thân chức năng này có thể tính toán được.$f(x)$$x \mapsto 0$$x \mapsto 1$

Ở đây, một trong hai khả năng là đúng: hoặc tồn tại một như vậy , hoặc nó không tồn tại . Chức năng là một trong hai chức năng liên tục x ↦ 1 hoặc một hàm ngưỡng đơn giản, định nghĩa với m .$m$$x \mapsto 1$$m$

Tôi nghĩ - và hy vọng - rằng mọi sinh viên khoa học máy tính đều phải đối mặt với vấn đề này mà cảm thấy như một nghịch lý. Đó là một ví dụ rất hay cho sự khác biệt của tính toán theo nghĩa TCS và tính toán theo nghĩa thực tế.

$\pi$$\pi$

$f$$\exists M \in TM : f_M = f$

Ý tưởng cơ bản của bằng chứng là: Tôi cung cấp cho bạn một lớp hàm vô hạn, tất cả chúng đều có thể tính toán được (để hiển thị; tầm thường ở đây). Tôi chứng minh rằng hàm bạn đang tìm kiếm nằm trong lớp đó (để hiển thị; phân biệt trường hợp ở đây). qed

Vâng, đó là đúng, tính toán của nó. Vấn đề là chức năng của bạn thực sự không tạo ra giải pháp cho một nhóm vấn đề vô hạn, cách (nói) một chức năng tính toán một giải pháp cho vấn đề tạm dừng là - vì vậy không có vấn đề gì về tính toán. Thay vào đó, bạn đang biểu diễn dưới dạng hàm một số thực tế toán học duy nhất với biểu diễn hữu hạn - hoặc là một số nguyên hoặc thực tế là f là hàm liên tục 1

$\Omega$

Tìm thuật toán chính xác tất nhiên có thể là một vấn đề khó khăn. Nhưng tìm thuật toán chính xác thường là khó!

đăng một chút cũ, nhưng muốn gửi một câu trả lời khác.

Đây là một bằng chứng không mang tính xây dựng (hoặc lập luận) về khả năng tính toán. Nó chỉ đơn giản nói rằng hàm phải tồn tại theo một nghĩa nào đó vì tôi có thể biểu diễn nó (hoặc chính xác hơn là lập chỉ mục cho nó), trong tập hợp (hoặc vũ trụ) của các hàm tính toán. Tuy nhiên, nó không tự xây dựng máy (tức là thuật toán), cũng như chỉ mục (giả sử một phép liệt kê hiệu quả của các máy tính). Cụm từ tiếng Anh " cảm ơn vì không có gì ", dường như trong những trường hợp này là thích hợp nhất, như sau:

-- Look, I proved there is water somewhere! 

Now you can be happy, while dying from thirst!

Những người trong lịch sử toán học đã tranh luận khá nhiều về tính hợp lệ thực tế (hoặc phạm vi hiệu lực) và ý nghĩa của những lập luận đó. Kết quả cuối cùng là cùng một loại lập luận xuất hiện lại trong các định lý không hoàn chỉnh của Goedel và chống lại "giả định vũ trụ khép kín" này .

Nếu bạn không thích những tranh luận này nhiều thì tôi sẽ không trách bạn.