NP hoàn thành các vấn đề đồ thị về đặc tính cấu trúc

(Câu hỏi này là một chút của "khảo sát".)

Tôi hiện đang giải quyết một vấn đề trong đó tôi đang cố gắng phân chia các cạnh của một giải đấu thành hai bộ, cả hai đều được yêu cầu để thực hiện một số thuộc tính cấu trúc. Vấn đề "cảm thấy" khá khó khăn và tôi hoàn toàn mong đợi nó là -complete. Vì một số lý do, tôi gặp khó khăn ngay cả khi tìm thấy những vấn đề tương tự trong văn học.$\mathcal{NP}$

Một ví dụ về một vấn đề mà tôi sẽ xem xét có thể so sánh với vấn đề tôi đang giải quyết:

Cho một giải đấu có trọng số , có một cung phản hồi nào được đặt trong các cạnh của nó thực hiện bất đẳng thức tam giác không?$G = (V,E,w)$$G$

Lưu ý sự khác biệt đối với vấn đề tập hợp vòng cung phản hồi truyền thống: Tôi không quan tâm đến kích thước của tập hợp, nhưng tôi quan tâm liệu chính tập hợp đó có thuộc tính cấu trúc nhất định hay không.

Bạn đã gặp phải bất kỳ vấn đề quyết định mà cảm thấy tương tự như thế này? Bạn có nhớ liệu chúng là -complete hay trong không? Bất kỳ và tất cả giúp đỡ đánh giá cao.$\mathcal{NP}$$\mathcal{P}$

Tôi nghĩ rằng có rất nhiều vấn đề tương tự. Đây là hai phiên bản đỉnh và một trong phiên bản cạnh:

1) Đồ thị đã cho có tập đỉnh phản hồi độc lập không? (chúng tôi không quan tâm đến kích thước của bộ). Vấn đề này là NP-đầy đủ; bằng chứng có thể được bắt nguồn từ bằng chứng của Định lý 2.1 ở Garey, Johnson & Stockmeyer .

2) Một đồ thị đã cho có nắp đỉnh tạo ra một cây không? (chúng tôi không quan tâm đến kích thước của bộ). Bài viết này đưa ra bằng chứng NP-đầy đủ cho vấn đề này (Định lý 2); thậm chí cho các đồ thị lưỡng cực.

3) Một đồ thị đã cho có cạnh chiếm ưu thế có đặt các cạnh tạo thành một sơ đồ con $1$ không đều không? (còn được gọi là thống trị cảm ứng khớp hoặc thống trị cạnh hiệu quả; phiên bản đỉnh được đưa ra trong câu trả lời thứ hai của Mohammad. Một lần nữa, chúng tôi không quan tâm đến kích thước của tập hợp). Vấn đề này là NP-đầy đủ (nổi tiếng, lần đầu tiên được chứng minh ở đây ), ngay cả đối với các đồ thị lưỡng cực phẳng.

Hai vấn đề đầu tiên là các ví dụ cụ thể của lớp vấn đề được gọi là ổn định- : Gọi π là một thuộc tính đồ thị. Liệu một đồ thị đã cho có một đỉnh đỉnh thỏa mãn π ? Nhiều trường hợp NP-đầy đủ cũng như các trường hợp có thể giải quyết đa thức có thể được tìm thấy trong này và trong bài viết này (và các ref được đưa ra ở đó).$\pi$$\pi$$\pi$

$C$$C$$NP$$NP$

DW Bange, AE Barkauskas và PJ Slater. Hiệu quả bộ thống trị trong đồ thị . Các ứng dụng của toán học rời rạc, Proc. Liên minh SIAM thứ 3, Clemson / South Carolina 1986, 189-199 (1988)., 1988.

$NP$$NP$

Một lỗ là chu kỳ không hợp âm có chiều dài lớn hơn ba. Một chu kỳ trong đồ thị có hướng là không hợp âm nếu chiều dài của nó lớn hơn 3 và không có hai đỉnh nào của nó được nối bởi một cạnh của đồ thị có hướng không thuộc chu trình.

$NP$$P$

$NP$

Tầm quan trọng của việc phát hiện cấu trúc lỗ lẻ trong đồ thị được nhấn mạnh bởi sự đột phá gần đây của Định lý đồ thị hoàn hảo mạnh mẽ . Nó cho thấy rằng một biểu đồ là hoàn hảo khi và chỉ khi nó không phải là biểu đồ bổ sung của nó có một lỗ lẻ.