Cách tiếp cận Borowers rời rạc quyết định Borel

Gowers gần đây đã phác thảo một vấn đề, mà ông gọi là "tính quyết định của Borel rời rạc", giải pháp của họ có liên quan đến việc chứng minh giới hạn mạch thấp hơn.

1. Bạn có thể cung cấp một bản tóm tắt về cách tiếp cận phù hợp với đối tượng của các nhà lý thuyết phức tạp?

2. Điều gì sẽ làm cho cách tiếp cận này để chứng minh bất cứ điều gì , bao gồm cả việc chứng minh lại giới hạn dưới đã biết?

Hãy để tôi đưa ra một bản tóm tắt về sự hiểu biết của tôi về động lực cho cách tiếp cận. Được cảnh báo rằng tôi khá mới đối với khái niệm xác định Borel, và hoàn toàn không phải là một chuyên gia về lý thuyết tập hợp. Tất cả lỗi lầm là của tôi. Ngoài ra tôi không chắc đọc nó tốt hơn nhiều so với đọc bài viết của Gowers.

Tôi nghĩ rằng những gì Gowers có trong tâm trí không phải là một sự tương tự về mặt xác định của định lý xác định Borel, mà là một sự tương tự về mặt tài chính như sau: Tính xác định của Borel xuất phát từ ZFC, trong khi việc xác định các trò chơi phân tích đòi hỏi sự tồn tại của các hồng y có thể đo lường được (về cơ bản). Tôi sẽ mô tả ngắn gọn về những trò chơi mà chúng ta đang nói đến và tính quyết định của Borel là gì, và sau đó tôi sẽ kết hợp điều này với cách tiếp cận để chứng minh giới hạn dưới. Ý tưởng cấp cao là xem xét tài sản "cho phép một sự tương tự hoàn hảo của một bằng chứng xác định Borel hoạt động" như một tài sản có thể tách P \ poly khỏi NP.

Chúng tôi nghĩ về những trò chơi mà hai người chơi I và II thay phiên nhau "chơi" một số nguyên. Trận đấu diễn ra mãi mãi, vì vậy họ tạo ra một chuỗi . Trò chơi được xác định bởi một bộ chiến thắng A ⊆ N N (tức là một bộ các chuỗi). Nếu x ∈ A thì người chơi I thắng, nếu không thì người chơi II thắng.$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

Một trò chơi được xác định nếu một trong hai người chơi I hoặc người chơi II có chiến lược chiến thắng: một cách để quyết định một bước đi tiếp theo dựa trên cách chơi cho đến nay để đảm bảo chiến thắng. Cho dù tất cả các trò chơi được xác định hóa ra có mối liên hệ mật thiết với nền tảng của lý thuyết tập hợp (chúng không, nếu bạn tin vào tiên đề của sự lựa chọn). Trong mọi trường hợp, một ví dụ đơn giản khi trò chơi được trên thực tế xác định là khi là mở trong topo sản phẩm trên N N , đó là một cách ưa thích của nói rằng các thành viên x ∈ A có thể được quyết định chỉ dựa trên một số hữu hạn các yếu tố của $A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$. Ví dụ: trò chơi mà người chơi tôi thắng nếu cô ấy là người đầu tiên chơi số chẵn được mở. Một ví dụ đơn giản khác về các trò chơi xác định là các trò chơi đóng, tức là các trò chơi trong đó có thể được quyết định dựa trên một chuỗi hữu hạn của x . Trò chơi đóng là trò chơi mở với vai trò của người chơi đảo ngược.$x \not \in A$$x$

Bây giờ chúng ta có thể đi đến xác định Borel, và ngay sau khi tôi sẽ cố gắng gắn kết điều này với các mạch và độ phức tạp. Một tập hợp Borel là một tập hợp có thể được bắt nguồn từ các tập mở và đóng bằng cách liên tục áp dụng một số lượng lớn các hiệp hội và giao điểm. Bạn nên nghĩ về các bộ mở và đóng như các bộ cơ bản của mình và các bộ Borel có nguồn gốc từ các bộ cơ bản sử dụng một số cấp độ của một số hoạt động đơn giản "nhỏ" (= có thể đếm được) ở mỗi cấp. Hóa ra bạn có thể chứng minh trong ZFC rằng các bộ Borel được xác định và có một ý nghĩa chính xác trong đó đây là điều tốt nhất bạn có thể làm.

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

Bây giờ anh ta lấy cảm hứng từ một bằng chứng về tính quyết định của Borel để đưa ra một đặc tính (theo nghĩa Razborov-Rudich) để phân biệt các chức năng của độ phức tạp mạch nhỏ với các chức năng của độ phức tạp mạch lớn. Hy vọng tất nhiên là tài sản tránh được rào cản bằng chứng tự nhiên.

$\pi$$\pi$bảo tồn chiến lược chiến thắng - hãy gọi đây là "thang máy". Vì vậy, những gì Martin thể hiện là mỗi trò chơi Borel là hình ảnh của một trò chơi trong đó bộ chiến thắng là một bộ cơ bản. Vì các trò chơi mở dễ dàng được nhìn thấy để xác định, điều này chứng tỏ tính quyết định của Borel. Bằng chứng là quy nạp, với trường hợp cơ sở cho thấy các trò chơi đóng có thể được gỡ bỏ. Phần quan trọng là mỗi bước của cảm ứng "thổi bùng" vũ trụ: loại bỏ một cấp độ của cấu trúc Borel đòi hỏi phải nâng một trò chơi lên một trò chơi trên một vũ trụ mà thực chất là tập hợp sức mạnh của vũ trụ của trò chơi gốc . Thật thú vị, điều này là không thể tránh khỏi: Các bộ Borel yêu cầu nhiều cấp độ hơn để xác định chỉ có thể được nâng lên các trò chơi trên các vũ trụ lớn hơn nhiều. Các bộ phân tích đòi hỏi các vũ trụ rất lớn, đến mức sự tồn tại của chúng đòi hỏi các tiên đề lớn.

$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

$y \in U$$U$$2^n$$y$

$f$