Hàm Boolean Trong đó Độ nhạy bằng Độ nhạy Khối

Một số công việc về độ nhạy so với độ nhạy khối đã nhằm mục đích kiểm tra các hàm với khoảng cách càng lớn càng tốt giữa $s(f)$ và $bs(f)$ để giải quyết phỏng đoán rằng $bs(f)$ chỉ lớn hơn về mặt đa thức hơn $s(f)$ . Còn hướng ngược lại thì sao? Những gì được biết về các hàm trong đó $s(f) = bs(f)$ ?

Một cách tầm thường, các hàm hằng có $0=s(f)=bs(f)$ . Cũng tầm thường, bất kỳ hàm nào có $s(f) = n$ cũng có $s(f) = bs(f)$ . Nó không tầm thường nhưng không quá khó để chỉ ra rằng bất kỳ chức năng đơn điệu nào cũng thỏa mãn sự bình đẳng này. Có bất kỳ lớp chức năng tốt đẹp nào khác có $s(f) = bs(f)$? Một đặc tính hoàn chỉnh sẽ là lý tưởng. Điều gì xảy ra nếu chúng ta tăng cường hơn nữa các yêu cầu đối với $s^0(f) = bs^0(f)$ và $s^1(f) = bs^1(f)$ ?

Động lực cho câu hỏi này chỉ đơn giản là để có được một số trực giác về mức độ nhạy cảm liên quan đến độ nhạy khối.

Các định nghĩa

Đặt $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$ là hàm Boolean trên các từ $n$ -bit. Đối với $x \in \{0,1\}^n$ và $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$ , chúng ta hãy $x^A$ biểu thị $n$ từ -bit thu được từ $x$ bằng cách lật các bit được xác định bởi $A$ . Trong trường hợp $A = \{i\}$ , chúng tôi sẽ chỉ đơn giản là biểu thị điều này là$x^i$ .

Chúng tôi xác định độ nhạy của $f$ tại $x$ là $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$ . Nói cách khác, đó là số bit trong $x$ mà chúng ta có thể lật để lật đầu ra của $f$ . Chúng tôi xác định độ nhạy của $f$ là $s(f) = \text{max}_x s(f,x)$.

Chúng tôi xác định độ nhạy khối của $f$ tại $x$ (ký hiệu là $bs(f,x)$ ) là $k$ tối đa sao cho có các tập con khác nhau $B_1, B_2, \ldots, B_k$ của $\{1,2,\ldots, n\}$ như vậy mà $f(x^{B_i}) \neq f(x)$ . Chúng tôi xác định độ nhạy khối của$f$ là$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$ .

Cuối cùng, chúng tôi xác định độ nhạy 0 của $f$ là $s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$ . Chúng tương tự như xác định 1-nhạy cảm , nhạy 0-block , và sự nhạy cảm 1 khối , ký hiệu là $s^1(f)$ , $bs^0(f)$ , và $bs^1(f)$ , tương ứng.

Gần đây, tôi đã chứng minh rằng s (f) = bs (f) cho các hàm thống nhất và các hàm đọc một lần trên các toán tử Boolean AND, OR và EXOR và bài báo của tôi bao gồm các kết quả đã được chấp nhận cho TCS 2014. ( http: // dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9 )

Bạn có thể đang tấn công vấn đề này. Nếu vậy, tôi cảm thấy tiếc, nhưng tôi bắt đầu tấn công vấn đề một cách độc lập trước khi câu hỏi được đăng. Một phiên bản sơ bộ của bài báo của tôi đã được trình bày tại một cuộc họp trong nước Nhật Bản vào tháng 12 năm 2013 và thời hạn nộp là tháng 10/2013. ( http://www.ieice.org/ken/apers/20131220DBID/eng/ )