Điều gì sẽ là hậu quả lý thuyết phức tạp của một thuật toán thời gian đa thức cho bài toán Đồ thị đẳng hình?
Ít nhiều giống với hậu quả của thuật toán thời gian đa thức xác định đối với kiểm tra tính nguyên thủy, thuật toán thời gian đa thức xác định cho lập trình tuyến tính và trường hợp khác trong đó thuật toán thực tế (ngẫu nhiên) (với các ví dụ bệnh lý hiếm gặp trong đó thuật toán trở nên kém hiệu quả) và sử dụng trong một thời gian dài. Nó xác nhận phỏng đoán rằng hiệu quả thực tế là một chỉ số tốt cho sự tồn tại của các thuật toán lý thuyết xác định khắc phục các vấn đề của các ví dụ bệnh lý hiếm gặp.
Một thuật toán thời gian bán đa thức cho GI sẽ bác bỏ bất kỳ phỏng đoán nổi tiếng nào trong lý thuyết phức tạp?
Không, các phỏng đoán thay vì đi đến địa điểm đối diện, cụ thể là GI ở P. Vì GI ở NP, sẽ không có khả năng bác bỏ loại phỏng đoán này sớm.
Chúng ta có thể giảm một cách hiệu quả Vấn đề thống trị tối thiểu trong giải đấu thành GI không?
Bộ thống trị tối thiểu không phải là một vấn đề đẳng cấu, do đó không có lý do gì để dự kiến có thể giảm xuống GI.
Có bất kỳ phỏng đoán nào loại trừ GI khó đối với QP không?
Chúng ta thậm chí không biết làm thế nào để giảm vấn đề đẳng cấu chuỗi thành GI và đây ít nhất là một vấn đề đẳng cấu. Bằng chứng của Babai cho thấy sự đồng hình chuỗi đã có trong QP, vì vậy ... Và điều gì khó đối với QP thậm chí có nghĩa là gì? Cứng dưới giảm thời gian đa thức?
Từ việc giới thiệu các vấn đề về đẳng cấu và nhóm màu của François Le Gall và David J. Rosenbaum
Sự phức tạp của các vấn đề kiểm tra đẳng cấu đáng để nghiên cứu cả bởi vì chúng là những câu hỏi tính toán cơ bản và cũng vì nhiều trong số chúng không được biết đến trong P, nhưng tuy nhiên có vẻ dễ hơn các bài toán hoàn chỉnh NP. Nghiên cứu nhiều nhất trong số này là vấn đề đẳng cấu đồ thị.
GI∗GrI∗được định nghĩa (trong bài báo trên, nhưng các tác giả tự hỏi tại sao không ai làm điều đó trước đây), trong đó thêm các phần còn thiếu từ vấn đề đẳng cấu chuỗi. .
GI∗
Chỉnh sửa: Câu trả lời này đã được đưa ra trong bối cảnh rút lại kết quả của Babai, trước khi ông tuyên bố sửa chữa. Nó gợi ý rằng sự khái quát hóa một chút của bài toán đẳng cấu đồ thị được đề xuất bởi bài toán đẳng cấu chuỗi là vấn đề thực sự quan trọng. Kỳ vọng ngầm ở đây là bất kỳ thuật toán hợp lý nào cho bài toán đẳng cấu đồ thị sẽ dẫn đến một thuật toán tương tự cho bài toán đẳng cấu đồ thị tổng quát. Các vấn đề tổng quát là đa thức thời gian tương đương với vấn đề thiết ổn định , các vấn đề ngã nhóm , vấn đề giao coset, các vấn đề bộ vận chuyển , ... Ý tưởng đằng sau sự mong đợi này là vấn đề khái quát hóa sẽ xảy ra trong phần đệ quycủa bất kỳ thuật toán hợp lý, vì vậy nó phải được giải quyết bằng mọi cách. (Và hoàn toàn có thể vấn đề tổng quát là thời gian đa thức tương đương với đẳng cấu đồ thị.)
Bây giờ các bình luận của Joshua Grochow chỉ ra rằng tôi đã không thành công trong việc giải thích tầm quan trọng về mặt khái niệm của các phần còn thiếu từ vấn đề đẳng cấu chuỗi. Đối với các cấu trúc vô hạn, có thể dễ dàng hơn để đánh giá rằng một đẳng cấu hợp lệ không chỉ bảo toàn cấu trúc đã cho mà còn thuộc về một loại hàm thích hợp (ví dụ: loại hàm liên tục). Đối với các cấu trúc hữu hạn, hiện tượng tương tự chủ yếu xảy ra đối với các cấu trúc thương, trong đó loại chức năng phù hợp phải tương thích với các chỉ số đã cho. Công cụ Johnson là một ví dụ điển hình của các chỉ tiêu như vậy, ví dụ logic phân vùng đang làm việc trên hai tập hợp phần tử của một số bộ cơ sở. Cũng lưu ý rằng việc hạn chế danh mục được phép đối với các đẳng cấu thường làm cho vấn đề kiểm tra đẳng cấu dễ dàng hơn,
Vấn đề với sự khái quát hóa của vấn đề đẳng cấu đồ thị là dừng lại ở đâu. Tại sao không khái quát cho đến nay để bao gồm các vấn đề đẳng cấu nhóm hoán vị? Câu hỏi này thực sự rất khó, vì nhiều kết quả không tầm thường đối với đẳng cấu đồ thị có thể sẽ được chuyển sang dạng đẳng cấu nhóm hoán vị. Nhưng ở đây, cảm thấy hợp lý hơn khi coi lý thuyết nhóm hoán vị tính toán là một chủ đề theo đúng nghĩa của nó, ngay cả khi nó thực sự có mối liên hệ chặt chẽ với vấn đề đẳng cấu đồ thị.