Trong lớp nào các thuật toán ngẫu nhiên sai với cơ hội chính xác 25%?

Giả sử tôi xem xét biến thể sau của BPP, chúng ta gọi E (xact) BPP: Một ngôn ngữ nằm trong EBPP nếu có một TG ngẫu nhiên thời gian đa thức chấp nhận mọi từ của ngôn ngữ với xác suất chính xác 3/4 và mọi từ không có trong đó ngôn ngữ với xác suất chính xác 1/4. Rõ ràng EBPP có trong BPP nhưng chúng có bằng nhau không? Điều này đã được nghiên cứu? Điều gì về ERP có thể xác định tương tự?

Động lực. Động lực chính của tôi là tôi muốn biết những gì tương tự lý thuyết phức tạp của thuật toán ngẫu nhiên `` đúng trong giá trị mong đợi '' của Faenza et al. (xem http://arxiv.org/abs/1105.4127 ) sẽ là. Đầu tiên tôi muốn hiểu những vấn đề quyết định mà thuật toán có thể giải quyết (với thời gian chạy đa thức tồi tệ nhất). Hãy để chúng tôi biểu thị lớp này bằng E (xpected) V (alue) PP. Dễ dàng thấy rằng USAT $\in$ EVPP. Cũng dễ dàng nhận thấy rằng EBPP $\subset$ EVPP. Vì vậy, đây là động lực của tôi. Bất kỳ thông tin phản hồi về EVPP cũng được hoan nghênh.

Trong thực tế, thuật toán của họ luôn tạo ra một số không âm. Nếu chúng ta biểu thị các vấn đề quyết định có thể nhận ra bằng thuật toán như vậy bằng PP EVP (ositive), thì chúng ta vẫn có USAT $\in$ EVPPP. Mặc dù EBPP có thể không phải là tập hợp con của EVPPP, chúng tôi có ERP $\subset$ EVPPP. Có thể sử dụng những thứ này, chúng ta có thể định nghĩa một thứ hạng (không âm) cho các vấn đề quyết định.

Mặt khác, EBPP không phải là một lớp mạnh mẽ. Ví dụ, nếu thay vì cho phép thuật toán lật một đồng xu không thiên vị, nếu nó được trao một đồng xu 3 mặt không thiên vị, hoặc chết 6 mặt, thì bạn không rõ rằng bạn có cùng loại. BPP vẫn giữ nguyên nếu bạn thay đổi các chi tiết này.

Dù sao, câu hỏi chính của bạn là liệu EBPP có bằng với BPP hay không. Dường như với tôi rằng EBPP gần với P hơn so với BPP. Xem xét độ phức tạp truy vấn hoặc phiên bản orory của các lớp này nơi chúng có quyền truy cập vào một chuỗi đầu vào lớn và phải thực hiện các truy vấn để tìm hiểu các bit của chuỗi này. Nếu bạn có một thuật toán P mà tính một hàm với Q truy vấn, sau đó có tồn tại một chính xác đại diện cho đa thức bậc Q cho f trên R . (Đây là đối số phương thức đa thức thông thường.) Mặt khác, nếu bạn có thuật toán BPP, thì bạn nhận được một đa thức Q độ trên R xấp xỉ $f$$Q$$Q$$f$$\mathbb{R}$$Q$$\mathbb{R}$$f$theo nghĩa là giá trị của nó gần với giá trị của ở mọi đầu vào.$f$

Đưa ra thuật toán EBPP cho hàm , chúng ta có thể xây dựng một đa thức xuất ra 1/4 khi câu trả lời là NO và 3/4 khi câu trả lời là CÓ. Bằng cách trừ 1/2 và nhân với 2, bạn có thể có được một đại diện chính xác đại diện, giống như trong trường hợp P. Điều này gợi ý cho tôi rằng EBPP gần với P. hơn$f$

$\Omega(N)$

Liên quan đến sự phân tách của nhà tiên tri, có một nhà tiên tri với EBPP = BPP = EXP ^NP , và một nhà tiên tri với P = ⊕P (và do đó EBPP = P) và BPP = EXP ^NP .

Một cách xây dựng nhà tiên tri BPP = EXP ^NP (bao gồm một trong bài viết wikipedia của BPP ) là chọn một vấn đề hoàn chỉnh EXP ^NP tương đối hóa và tiến hành đệ quy trên kích thước đầu vào (cho vấn đề đó), sửa kết quả cho các trường hợp có vấn đề ở kích thước đó và sau đó cung cấp câu trả lời cho vấn đề đó nếu được truy vấn với đầu vào và bộ đệm (có độ dài phù hợp) chưa được sửa. Đối với EBPP = EXP ^NP , thay vì hầu như luôn đưa ra câu trả lời đúng, chúng ta có thể đưa ra những câu trả lời sai vừa đủ để làm cho số đếm chính xác. Ngoài ra còn có một lời tiên tri trong đó tương tự lỗi không của EBPP (chính xác là 1/2 xác suất báo cáo lỗi) bằng EXP (và một lời tiên tri với P = ⊕P nhưng ZPP = EXP).

Nhà tiên tri P = ⊕P và BPP = EXP ^NP được ghi chú ở đây .

Ngoài việc ở trong BPP và trong C ₌ P, EBPP còn ở ⊕P vì chúng ta có thể giảm xác suất thành số nhân chứng và sau đó điều chỉnh số đó.

Trong thế giới không liên quan, BPP có thể bằng P, nhưng bằng chứng thậm chí còn mạnh hơn đối với EBPP. EBPP phụ thuộc vào số lượng đường dẫn chính xác theo cách mà trừ khi có yêu cầu hủy bỏ bất ngờ, về cơ bản là không thể khai thác.

Đây là một câu trả lời một phần; có lẽ nó sẽ truyền cảm hứng cho người khác để cung cấp một cái tốt hơn. $\newcommand{\EBPP}{\mathsf{EBPP}}$ $\newcommand{\CP}{\mathsf{C}_=\mathsf{P}}$

Lớp của bạn là trường hợp đặc biệt của . Tôi nghĩ một cách định nghĩa là như sau (xem Phần 2 của bài viết này ). Một ngôn ngữ nằm trong nếu có trình xác minh thời gian đa thức sao cho$\EBPP$$\CP$$\CP$$L$$\CP$$V$

• nếu nằm trong , thì và$x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• nếu không nằm trong , thì .$x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] \neq \frac{3}{4}$

(Xác suất hoàn thành về cơ bản có thể là bất kỳ phân số cố định nào; tôi đã chọn để nó phù hợp với xác suất được đưa ra trong câu hỏi của bạn.)$\frac{3}{4}$

Một cách định nghĩa như sau. Một ngôn ngữ nằm trong nếu có trình xác minh thời gian đa thức sao cho$\EBPP$$L$$\EBPP$$V$

• nếu nằm trong , thì và$x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• nếu không nằm trong , thì .$x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{1}{4}$