CSP với chiều rộng hypertree phân đoạn không giới hạn

Tại SODA 2006, bài viết của Martin Grohe và D niel Marx "Giải quyết ràng buộc thông qua bìa cạnh phân đoạn" ( trích dẫn ACM ) cho thấy đối với lớp siêu dữ liệu có độ rộng siêu phân đoạn giới hạn, CSP ( ) .$\acute{\rm a}$$H$$H$$\in PTIME$

Định nghĩa, vv

Đối với một cuộc khảo sát tuyệt vời về phân hủy cây tiêu chuẩn và treewidth, xem tại đây (Cảm ơn trước thời hạn, JeffE!).

Gọi là một siêu dữ liệu.$H$

Sau đó, đối với siêu dữ liệu và ánh xạ ,$H$$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$

$B(\gamma) =$ { }.$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$

Ngoài ra, hãy để trọng lượng ( $\gamma$ ) = $\sum_{e \in E}\gamma(e)$ .

Sau đó, một phân tách hypertree phân đoạn của $H$ là một bộ ba $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$ , trong đó:

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ là phân rã cây của $H$ và
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ là một nhóm ánh xạ từ $E(H)$ đến $[0, \infty)$ st cho mọi $t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$ .

Sau đó, chúng tôi nói chiều rộng của là {weight }.$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$( γ t ) , t ∈ V ( T $\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

Cuối cùng, chiều rộng hypertree phân đoạn của , fhw ( ), là tối thiểu của độ rộng khắp phân tách hypertree phân đoạn có thể có của .H $H$$H$$H$

Câu hỏi

Như đã nêu ở trên, nếu độ rộng siêu phân đoạn của đồ thị cơ sở của CSP bị giới hạn bởi một hằng số, thì có một thuật toán thời gian đa thức để giải CSP. Tuy nhiên, nó vẫn là một vấn đề mở ở phần cuối của bài viết được liên kết cho dù có bất kỳ họ CSP nào có thể giải quyết theo thời gian đa thức có chiều rộng siêu liên kết không giới hạn. (Tôi cũng nên chỉ ra rằng, câu hỏi này đã được giải quyết hoàn toàn trong trường hợp giới hạn so với treewidth ( trích dẫn ACM ) theo giả định rằng .) Đã có một thời gian kể từ bài báo được liên kết đầu tiên, cộng với tôi tương đối không biết về trạng thái chung của trường con này, câu hỏi của tôi là:$FPT \ne W[1]$

Có bất cứ điều gì được biết về khả năng di chuyển (trong) của CSP trên các biểu đồ với chiều rộng siêu phân đoạn không giới hạn không?

Bạn liên kết đến hai bài báo, cả hai đều có phỏng đoán. Tôi đoán bạn có nghĩa là phỏng đoán năm 2007 của Grohe.

Câu hỏi này đã được trả lời vào năm 2008:

Định lý 5. CSP (C , _) nằm trong NP, nhưng không ở P cũng không hoàn thành NP (trừ khi P = NP). Hơn nữa, tập hợp C có thể được quyết định trong thời gian đa thức xác định.$_0$$_0$

• Manuel Bodirsky và Martin Grohe, Không phân đôi về độ phức tạp hài lòng ràng buộc , ICALP 2008 doi: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

Ý tưởng là thổi các lỗ hổng trong các kích thước cá thể của CLIQUE, bằng kỹ thuật đường chéo bị trì hoãn tương tự được giới thiệu bởi Ladner cho định lý của mình. Lưu ý rằng tập hợp C chứa các cụm lớn tùy ý và chiều rộng siêu phân đoạn của một -clique là . Vì vậy, có thể có các CSP có dạng CSP (A, _) có độ phức tạp trung gian, trong đó A có chiều rộng siêu phân đoạn không giới hạn. Điều này trả lời phỏng đoán của Grohe trong phủ định. n n /$_0$$n$$n/2$

Trong cùng một hội nghị, Chen, Thurley và Weyer đã có một bài báo có kết quả tương tự, nhưng điều đó đòi hỏi phải nhúng mạnh nên về mặt kỹ thuật không phải là hình thức phù hợp cho phỏng đoán.

• Yijia Chen, Marc Thurley và Mark Weyer, Tìm hiểu sự phức tạp của các cấu trúc biểu đồ con cảm ứng , ICALP 2008 doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

Cuối cùng, bất kỳ lớp CSP nào cũng có thể được chuyển đổi thành một đại diện với chiều rộng siêu phân đoạn phân đoạn trong trường hợp xấu nhất. Trong nhiều trường hợp, phép biến đổi này bị giới hạn về kích thước và có thể được thực hiện trong thời gian đa thức. Điều này có nghĩa là dễ dàng tạo ra các CSP với chiều rộng hypertree phân đoạn không giới hạn, thậm chí tương đương đồng dạng modulo. Các CSP này sẽ không phải là CSP (A, _) vì các cấu trúc đích là đặc biệt, nhưng chúng cung cấp một lý do rõ ràng tại sao các CSP được xác định bằng cách hạn chế các cấu trúc nguồn không thú vị lắm: nó thường chỉ là quá dễ dàng để ẩn cấu trúc giống như cây của một cá thể CSP bằng cách thay đổi biểu diễn sao cho cấu trúc nguồn có chiều rộng lớn. (Điều này được thảo luận trong chương 7 của luận án của tôi .)