Hậu quả của #P = FP

Đó sẽ là hậu quả của #P = FP?

Tôi quan tâm đến cả hậu quả thực tế và lý thuyết.

Từ quan điểm thực tế, tôi đặc biệt quan tâm đến hậu quả đối với Trí tuệ nhân tạo.

Con trỏ đến giấy tờ hoặc sách được chào đón nhiều hơn.

Xin đừng nói rằng #P = FP ngụ ý P = NP, tôi đã biết điều đó. Ngoài ra, vui lòng không nói "sẽ không có hậu quả thực tế nếu thuật toán chạy đúng lúc , trong đó là số electron trong vũ trụ" $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha$ : cho phép tôi giả sử rằng, nếu thuật toán thời gian đa thức xác định cho một vấn đề # P-Complete tồn tại, thời gian chạy của nó sẽ là "clement" ( ví dụ ). $O(n^2)$

— Giorgio Quayani
nguồn

Câu trả lời:

Dưới đây là một vài hậu quả lý thuyết của sự bình đẳng FP = # P, mặc dù chúng không liên quan gì đến trí tuệ nhân tạo. Giả định FP = # P tương đương với P = PP , vì vậy hãy để tôi sử dụng ký hiệu sau.

Nếu P = PP, thì chúng ta có P = BQP : phép tính thời gian đa thức lượng tử có thể được mô phỏng bằng phép tính thời gian đa thức xác định cổ điển. Đây là hậu quả trực tiếp của BQP⊆PP [ADH97, FR98] (và kết quả trước đó là BQP⊆P ^PP [BV97]). Theo hiểu biết của tôi, P = BQP không được biết là tuân theo giả định P = NP. Tình trạng này là khác nhau từ các trường hợp tính toán ngẫu nhiên ( BPP ): kể từ BPP⊆NP ^NP [Lau83], sự bình đẳng P = BPP sau từ P = NP.

Một hậu quả khác của P = PP là mô hình tính toán Blum-Shub-Smale so với thực tế với hằng số hợp lý là tương đương với máy Turing theo một nghĩa nào đó. Chính xác hơn, P = PP có nghĩa P = BP (P _ℝ⁰ ); nghĩa là, nếu một ngôn ngữ L ⊆ {0,1} ^* có thể được quyết định bởi một chương trình không có hằng số so với các số thực trong thời gian đa thức, thì L có thể được quyết định bởi một máy Turing thời gian đa thức. (Ở đây “BP” là viết tắt của “phần Boolean” và không có gì để làm với BPP). Điều này sau từ BP (P _ℝ⁰ ) ⊆ CH [ABKM09]. Xem bài viết cho định nghĩa. Một vấn đề quan trọng trong việc BP (P _ℝ⁰ ) là vấn đề tổng vuông gốcvà bạn bè (ví dụ: Cho một số nguyên k và một tập hợp hữu hạn các điểm tọa độ nguyên trên mặt phẳng, có một cây bao trùm có tổng chiều dài nhiều nhất là k ? không) [Tiw92].

Tương tự như đối số thứ hai, bài toán tính toán một bit cụ thể theo x ^y khi các số nguyên dương x và y được đưa ra trong nhị phân sẽ nằm trong P nếu P = PP.

Tài liệu tham khảo

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen và Peter Bro Miltersen. Về sự phức tạp của phân tích số. Tạp chí SIAM về máy tính , 38 (5): 1987 Mạnh2006, tháng 1 năm 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

[ADH97] Leonard M. Adeld, Jonathan DeMarrais và Ming-Deh A. Huang. Tính toán lượng tử. Tạp chí SIAM về máy tính , 26 (5): 1524 Từ1540, tháng 10 năm 1997. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539795293639

[BV97] Ethan Bernstein và Umesh Vazirani. Lý thuyết phức tạp lượng tử. Tạp chí SIAM về máy tính , 26 (5): 1411 Từ1473, tháng 10 năm 1997. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539796300921

[FR98] Lance Fortnow và John Rogers. Hạn chế phức tạp về tính toán lượng tử. Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống , 59 (2): 240 Từ252, tháng 10 năm 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1999.1651

[Lau83] Clemens Lautemann. BPP và hệ thống phân cấp thời gian đa thức. Thư xử lý thông tin , 17 (4): 215 Từ217, tháng 11 năm 1983. http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(83)90044-3

[Tiw92] Prasoon Tiwari. Một vấn đề dễ giải quyết hơn trên RAM đại số chi phí đơn vị. Tạp chí phức tạp , 8 (4): 393 cường394, tháng 12 năm 1992. http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(92)90003-T

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Bạn đánh tôi đến đây! Thật ra, bạn nói đúng về BQP vs NP. Dường như có bằng chứng hợp lý rằng BQP không có trong PH (xem ví dụ arxiv.org/abs/0910.4698 ), mặc dù tôi tin rằng Giả thuyết Linial-Nisan được sử dụng trong bit thứ hai đã được chứng minh là không chính xác.

— Joe Fitzsimons

@turkistany: Nếu tôi không nhầm, P = NP ngụ ý P = BPP vì BPP được chứa trong PH và nếu P = NP thì P = PH.

— Niel de Beaudrap

Ngẫu nhiên: +1 cho (FP = # P) (P = PP), thậm chí đặt sang một bên phần còn lại của nội dung câu trả lời.

— Niel de Beaudrap

@Joe: Trước những câu trả lời cho câu hỏi khác, tôi nghĩ rằng bằng chứng tốt nhất về P = NP không ngụ ý P = BQP, mà không thực sự chứng minh P = NP ≠ BQP có thể là kết quả phân tách tiên tri: Có tồn tại một lời tiên tri A sao cho P ^ A = NP ^ A ≠ BQP ^ A. Tất nhiên, điều này không dễ dàng chút nào vì kết quả đó sẽ ám chỉ BQP ^ A⊈PH ^ A, giải quyết một câu hỏi mở lớn.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Bạn không thể xây dựng một nhà tiên tri như vậy từ bất kỳ nhà tiên tri nào mà BQP không có trong PH, chỉ đơn giản bằng cách kết hợp nó với PH để tạo thành một nhà tiên tri mới?

— Joe Fitzsimons

Trong các mô hình đồ họa , nhiều vấn đề ước tính là # P-Complete, bởi vì chúng liên quan đến việc thực hiện các phép tính tổng sản phẩm là la vĩnh viễn trên các biểu đồ chung. Nếu #P = FP, thì các mô hình đồ họa đột nhiên dễ dàng hơn rất nhiều và chúng ta không phải loay hoay với các mô hình treewidth thấp nữa.

— Suresh Venkat
nguồn

$PH \subseteq P^{\#P}$ $\sharp P=FP$ $PH$

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Ai đó có thể làm rõ: điều này không giống như nói "P = PH" (mà sẽ ngay lập tức theo từ P = NP)?

— Niel de Beaudrap

@Niel: Nó không giống nhau, nó mạnh hơn.

— Giorgio Camerani

P^{FP} = P

$\text P^{\text{FP}} = \text P$

# P = FP

$\#\text P = \text{FP}$

PH \subseteq P^{# P} = P^{FP} = P \subseteq PH

$\text{PH} \subseteq \text P^{\#\text P} = \text P^{\text{FP}} = \text P \subseteq \text{PH}$

@ Tất cả: chỉ để làm rõ --- nhận xét đầu tiên của tôi ở trên là đặt câu hỏi sau "Câu trả lời của turkistany có tương đương với tuyên bố rằng FP = # P ngụ ý P = PH không?" Nếu tôi muốn biết liệu FP = # P có tương đương với P = PH hay không, tôi sẽ hỏi điều này trong một nhận xét về bài đăng gốc, chứ không phải câu trả lời của Turkistany.

— Niel de Beaudrap

@Niel: Bạn nói đúng. Điều này giống như nói P = PH, xuất phát từ P = NP. Do đó, việc sử dụng định lý Toda là không cần thiết, vì FP = #P đã ngụ ý P = NP = PH.

— Robin Kothari