Bao thanh toán đa thức bậc thấp

Thuật toán nhanh nhất được biết đến bao thanh toán đa thức với biến và tổng độ gì? Ở đây, n đang phát triển và d là cố định. Hầu hết các công việc dường như xem xét trường hợp khi d đang phát triển và n là cố định. Tôi quan tâm đến kết quả cả trên các lĩnh vực hữu hạn và trên các lý trí.$n$$\leq d$$n$$d$$d$$n$

Đặt $\mathbb K$ là một trường có đặc tính $0$ hoặc ít nhất là $d(d-1)+1$ và $p\in\mathbb K[x_1,\dotsc,x_n]$ là một đa thức có tổng độ lớn nhất là $d$ . Nếu $d$ là cố định và $n$ đang phát triển, ai có giới hạn độ phức tạp sau cho việc giảm Phân tích nhân của $p$ để Phân tích nhân của một degree- $d$ đơn biến đa thức: (Ký hiệu $\tilde{\mathcal O}(\cdot)$ bỏ qua của logarit các nhân tố.)

1. Các thuật toán xác định:

   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+d}{n}^4 \right)$ hoạt động trường, sử dụng thuật toán nhân ngây thơ;
   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+2d-2}{n-1} d^\omega \right)$ , nếu các thuật toán nhân nhanh có sẵn, trong đó là một số mũ được chấp nhận cho đại số tuyến tính.¹$2<\omega\le 3$

2. Các thuật toán xác suất:

   • $\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$ hoạt động trường, nếu có sẵn thuật toán nhân nhanh.

Sau đó, người ta phải động lực một đơn biến degree- đa thức. Độ phức tạp của bước này không phụ thuộc vào nữa, vì vậy các giới hạn trên vẫn còn hiệu lực đối với các thuật toán nhân tố hoàn chỉnh. Sự khác biệt duy nhất là ở đặc tính tích cực: Vì không có thuật toán đa thức thời gian xác định nào được biết là yếu tố đa thức đơn biến, ngay cả việc giảm xác định cũng mang lại thuật toán xác suất. Tuy nhiên, nếu thực sự cố định và nhỏ, người ta có thể thay thế thuật toán thời gian đa thức xác suất bằng thuật toán thời gian theo hàm mũ xác định.$d$$n$$d$

Lưu ý rằng ràng buộc xác suất là tối ưu cho các yếu tố logarit vì là kích thước của đầu vào.$\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$$\binom{n+d}{n}$

Thông tin chi tiết có thể được tìm thấy trong bài viết Các thuật toán nhân tố đa thức đa biến dày đặc của Grégoire Lecerf ( liên kết không có paywall ).

Một tài liệu tham khảo khác, đặc biệt là cho các lĩnh vực có đặc tính nhỏ, là EL Kaltofen & G. Lecerf, Factorization của đa thức đa biến ( liên kết không có paywall ), chương 11,5 của GL Mullen và D. Panario, biên tập viên, Sổ tay về các trường hữu hạn .

Kết quả cần giả định rằng .$\omega>2$