Chúng ta có thể quyết định liệu một vĩnh viễn có một điều khoản duy nhất?

Giả sử chúng ta được cung cấp một n bởi ma trận n, M, với các mục nguyên. Chúng ta có thể quyết định trong P cho dù có là một hoán vị như vậy mà cho tất cả các hoán vị π ≠ σ chúng tôi có Π M i σ ( i ) ≠ Π M i π ( i ) ?$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

Nhận xét. Tất nhiên người ta có thể thay thế sản phẩm bằng một khoản tiền, vấn đề vẫn giữ nguyên.

Nếu ma trận chỉ có thể có 0/1 mục, thì chúng ta gặp vấn đề Bipartite-UPM thậm chí là trong NC.

Chỉnh sửa: Quyết định xem thuật ngữ nhỏ nhất có phải là NP-hard hay không nếu chúng tôi cho phép giảm ngẫu nhiên. Trong thực tế, ban đầu tôi muốn đặt ra câu hỏi này, bởi vì nó sẽ giúp giải quyết câu hỏi này . Bây giờ hóa ra đây là NP-đầy đủ, vì vậy hãy để tôi phác thảo giảm bớt vấn đề của chúng tôi. Hãy tưởng tượng rằng đầu vào là một ma trận không một (chúng ta có thể giả sử như vậy) và thay thế các mục nhập số 0 bằng các số thực ngẫu nhiên trong khoảng từ 2 đến 2 + 1 / n. Bây giờ trong ma trận mới này với xác suất cao, thuật ngữ nhỏ nhất là duy nhất khi và chỉ khi ma trận ban đầu được cho phép ở dạng tam giác trên.

Chỉnh sửa: Câu hỏi tương tự:

Trong một đồ thị có trọng số cạnh, có chu trình Hamilton với trọng số duy nhất không?

Nếu chúng ta có một CNF với các trọng số được gán cho mỗi biến / thỏa mãn gán, thì có một phép gán thỏa mãn trọng số duy nhất không?

Đây là tất nhiên ít nhất NP-cứng. Là những vấn đề tương đương với bản gốc hoặc chúng khó hơn?

Vấn đề tốt đẹp! Không khó để đưa ra một mức giảm cho thấy rằng, nếu một người có thể giải quyết vấn đề của bạn, thì người ta cũng có thể giải quyết vấn đề sau, hãy gọi đó là TỔNG HỢP TUYỆT VỜI:

Cho các số nguyên ₁ , ..., a _n , có tập con S của một _i mà tổng của nó không được chia sẻ bởi bất kỳ tập hợp con nào khác không?

Việc giảm này hoạt động bằng cách giảm đầu tiên SUBSET SUM thành MATCHING HOÀN HẢO ISOLATED, trong đó đưa ra biểu đồ lưỡng cực có trọng số G, chúng tôi muốn tìm một kết hợp hoàn hảo mà trọng lượng không chia sẻ bởi bất kỳ kết hợp hoàn hảo nào khác. Việc giảm này rất đơn giản: với mỗi i, hãy tạo một sơ đồ con hoàn chỉnh 2x2 G _i trong G, sao cho hai phép so khớp có thể chúng ta chọn cho G _i mã hóa sự lựa chọn của chúng ta về việc liệu _i có trong tập S.

Tiếp theo, giảm MATCHING HOÀN HẢO HOÀN TOÀN cho vấn đề của bạn như sau:

1. Với tất cả i, j, nếu cạnh (i, j) tồn tại và có trọng số w _ij , thì đặt M _ij : = exp (w _ij ). (Điều này biến các khoản tiền thành sản phẩm.)
2. Đối với tất cả i, j, nếu cạnh (i, j) không tồn tại, thì đặt M _ij : = 0.
3. Pad M để đảm bảo rằng có hai hoặc nhiều hoán vị π sao cho Π M _{i, π (i)} = 0. (Điều này loại trừ các giải pháp giả không tương ứng với bất kỳ kết hợp hoàn hảo nào trong G.)

Bây giờ, SUM SUBSET SUM ISOLATED chắc chắn cảm thấy như nó ít nhất là NP-hard, và có lẽ nó còn khó hơn thế nữa (giới hạn trên rõ ràng chỉ là Σ ₂ P)! Hơn nữa, có lẽ người ta có thể chứng minh rằng SUBSET SUM ISOLATED là NP-hard bằng cách sử dụng phép giảm ngẫu nhiên theo kiểu Valiant-Vazirani. Tuy nhiên, đây là một thách thức tôi để lại cho người khác ...