NP gần như 2-SAT có khó không?

10

Là một vấn đề CNF SAT NP có khó không khi tổng số (nhưng không phải chiều rộng) của các mệnh đề 3 hoặc nhiều hơn được giới hạn ở trên bởi một hằng số? Điều gì đặc biệt khi chỉ có một điều khoản như vậy?

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
nguồn

8

Nếu chỉ có một ví dụ khoản

với hơn 2 điều khoản, giải quyết các công thức như vậy là trivially trong

. Nếu

có

, hãy thử từng

bài tập một phần thỏa mãn

, sau đó giải công thức 2-SAT còn lại bằng phương pháp thời gian tuyến tính đã biết. Cuối cùng, bạn sẽ tìm thấy một giải pháp cho toàn bộ công thức hoặc chứng minh rằng nó không thỏa mãn trong thời gian

, trong đó

không thể vượt quá số lượng biến trong toàn bộ công thức.

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— Kyle Jones

@KyleJones Nhưng một mệnh đề duy nhất với

chữ có

bài tập thỏa mãn, không chỉ

. Vì

không bị ràng buộc trong câu hỏi, cách tiếp cận này đưa ra thuật toán theo thời gian theo cấp số nhân.

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— David Richerby

2

@DavidR Richby Để đáp ứng mệnh đề bạn chỉ cần làm cho một trong những chữ được đánh giá là đúng. Sau đó, mệnh đề có thể được bỏ qua và bạn chỉ còn lại công thức 2-SAT.

chữ nghĩa là bạn chỉ phải thử

bài tập.

k

$k$

k

$k$

— Kyle Jones

14

Điều đáng chú ý là vấn đề trở thành NP-hard khi hạn chế được nới lỏng một chút.

Với một số mệnh đề cố định cũng có kích thước giới hạn, số lượng chữ trung bình trong mệnh đề gần bằng 2 như người ta muốn, bằng cách xem xét một thể hiện có đủ biến. Như bạn chỉ ra, sau đó có một giới hạn trên đơn giản là đa thức nếu kích thước mệnh đề được giới hạn.

Ngược lại, nếu số chữ trung bình trên mỗi mệnh đề ít nhất là đối với một số cố định (nhưng nhỏ tùy ý) , thì vấn đề là NP-hard. $2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

Điều này có thể được thể hiện bằng cách giảm 3SAT cho vấn đề này, bằng cách giới thiệu các mệnh đề mới với 2 nghĩa đen là thỏa đáng tầm thường. Giả sử có mệnh đề trong ví dụ 3SAT; để giảm kích thước trung bình khoản để , nó là đủ để thêm khoản mới với hai chữ. Kể từ khi là cố định và tích cực, các trường hợp mới có kích thước đa thức. $m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

Việc giảm này cũng cho thấy ngay cả phiên bản mà các mệnh đề "lớn" bị giới hạn ở 3 chữ là NP-hard.

Trường hợp còn lại là khi một số mệnh đề lớn không có kích thước giới hạn; mỗi mệnh đề lớn dường như làm cho vấn đề khó hơn. Xem bài báo SODA 2010 của Pǎtraşcu và Williams về trường hợp hai mệnh đề: họ lập luận rằng nếu điều này có thể được thực hiện trong thời gian bậc hai thì chúng ta sẽ có thuật toán tốt hơn cho SAT. Có thể có một phần mở rộng đối số của họ với nhiều mệnh đề hơn, điều này sẽ cung cấp bằng chứng cho thấy giới hạn trên của bạn không thể được cải thiện (modulo một số dạng của giả thuyết thời gian theo cấp số nhân).

— Salamás Salamon
nguồn

chỉ liên quan một cách hữu hình, nhưng có một bài báo ECCC gần đây có công thức "gần như 2-SAT" theo một cách khác và chứng minh độ cứng mạnh: eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Sasho Nikolov

8

Ok, tôi hiểu rồi Câu trả lời là không. Điều này có thể được giải quyết trong nhiều thời gian. Đối với mỗi mệnh đề 3 hoặc nhiều hơn, hãy chọn một chữ và đặt nó thành đúng. Sau đó giải bài toán 2-sat còn lại. Nếu bất kỳ ai cung cấp một giải pháp, thì đó là một giải pháp cho vấn đề tổng thể. Vì số mệnh đề 3 hoặc nhiều hơn là cố định (giả sử c), nên nếu tất cả các mệnh đề đó có kích thước <= m, thì điều này sẽ chạy trong O (m ^ (c) * n). O (m ^ c) để đi qua từng lựa chọn có thể, lần O (n) để giải bài toán 2 sat còn lại.

— dspyz
nguồn

m

$m$

Đó là bởi vì m bị giới hạn bởi số lượng nguyên tử. Rõ ràng, một mệnh đề không thể có nhiều chữ hơn các nguyên tử trong bài toán. Có lẽ tôi nên làm rõ m <= n

— dspyz