Tạo đồ thị với tự động hóa tầm thường

Tôi đang sửa đổi một số mô hình mật mã. Để thể hiện sự bất cập của nó, tôi đã nghĩ ra một giao thức được xây dựng dựa trên sự đẳng cấu của đồ thị.

Thật là "phổ biến" (nhưng vẫn còn gây tranh cãi!) Khi giả sử sự tồn tại của các thuật toán BPP có khả năng tạo ra "các trường hợp cứng của vấn đề Đồ thị đẳng hình". (Cùng với một nhân chứng của đẳng cấu.)

Trong giao thức giả định của mình, tôi sẽ giả sử sự tồn tại của các thuật toán BPP như vậy, đáp ứng một yêu cầu bổ sung:

• Đặt các biểu đồ được tạo là và . Chỉ có một nhân chứng (hoán vị) ánh xạ đến .G 2 G 1 G $G_1$$G_2$$G_1$$G_2$

Điều này ngụ ý rằng chỉ có tính tự động tầm thường . Nói cách khác, tôi giả sử sự tồn tại của một số thuật toán BPP, hoạt động như sau:$G_1$

1. Trên đầu vào , tạo một đồ thị -vertex , sao cho nó chỉ có các biến dạng tự động tầm thường. n G $1^n$$n$$G_1$
2. Chọn một hoán vị ngẫu nhiên trên và áp dụng nó trên để nhận .[ n ] = { 1 , 2 , Hoài , n } G 1 G $\pi$$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$$G_1$$G_2$
3. Đầu ra .$\langle G_1,G_2,\pi \rangle$

Tôi sẽ giả định rằng, trong Bước 1, có thể được tạo khi cần và là một ví dụ khó khăn của vấn đề Đồng phân đồ thị. (Vui lòng diễn giải từ "cứng" một cách tự nhiên; một định nghĩa chính thức được đưa ra bởi Abadi và cộng sự. Xem thêm bài viết của Impaliazzo & Levin .) ⟨ G 1 , G 2$G_1$$\langle G_1,G_2 \rangle$

Là giả định của tôi hợp lý? Bất cứ ai có thể xin vui lòng chỉ cho tôi một số tài liệu tham khảo?

Ít nhất là cách tiếp cận ngây thơ đầu tiên người ta có thể nghĩ là không hiệu quả. Cách tiếp cận tôi có trong đầu chỉ đơn giản là tạo hoàn toàn ngẫu nhiên. Vì hầu hết tất cả các đồ thị không có đối xứng (nghĩa là tỷ lệ của các đồ thị trên đỉnh không có biến dạng tự động không tiếp cận 1 như ), sẽ không có biến dạng không tự nhiên với xác suất cao, đó là điều chúng tôi muốn. Tuy nhiên, phiên bản trường hợp trung bình của đẳng cấu đồ thị, trong đó các đồ thị được chọn thống nhất ngẫu nhiên, có thể được giải trong thời gian tuyến tính [BK], do đó, điều này không tạo ra phân phối các trường hợp cứng. n n → ∞ G $G_1$$n$$n \to \infty$$G_1$

Nhưng một cách tiếp cận ngây thơ thứ hai có cơ hội hoạt động: tạo ra một biểu đồ thông thường ngẫu nhiên (có mức độ không đổi, vì biểu đồ đẳng cấu mức độ không đổi nằm trong P). Điều này cũng không có tự động hóa không cần thiết với xác suất cao [KSV], nhưng kết quả Babai-Kucera không áp dụng (như chúng chỉ ra trong bài báo). Chứng minh rằng đây là một trình tạo bất khả xâm phạm rõ ràng đòi hỏi một số giả định, nhưng người ta có thể tưởng tượng việc chứng minh vô điều kiện rằng sự đồng hình đồ thị thông thường trong trường hợp trung bình cũng khó như sự đồng hình đồ thị trường hợp xấu nhất, mặc dù tôi không biết khả năng này là như thế nào. (Lưu ý rằng đẳng cấu đồ thị thông thường trong trường hợp xấu nhất tương đương với đẳng cấu đồ thị trường hợp xấu nhất (chung).)

[BK]. Laszlo Babai, Ludik Kucera, Canonical dán nhãn đồ thị trong thời gian trung bình tuyến tính . FOCS 1979, tr. 39-46.

[KSV] Jeong Han Kim, Benny Sudakov và Van H. Vu. Trên sự bất đối xứng của đồ thị thông thường ngẫu nhiên và đồ thị ngẫu nhiên . Cấu trúc ngẫu nhiên & thuật toán, 21 (3-4): 216 Từ224, 2002. Cũng có sẵn ở đây .