Một vấn đề quyết định không được biết là ở PH nhưng sẽ ở P nếu P = NP

Chỉnh sửa : Như Ravi Boppana đã chỉ ra một cách chính xác trong câu trả lời của anh ấy và Scott Aaronson cũng đã thêm một ví dụ khác trong câu trả lời của anh ấy , câu trả lời cho câu hỏi này hóa ra là vâng vâng theo cách mà tôi không ngờ tới. Đầu tiên tôi nghĩ rằng họ không trả lời câu hỏi mà tôi muốn hỏi, nhưng sau khi suy nghĩ, những công trình này trả lời ít nhất một trong những câu hỏi tôi muốn hỏi, đó là, Có cách nào để chứng minh một kết quả có điều kiện 'P = NP L P 'mà không chứng minh kết quả vô điều kiện L ∈PH? Khăn Cảm ơn, Ravi và Scott!

Có một vấn đề quyết định L sao cho cả hai điều kiện sau đây đều hài lòng?

• L không được biết là nằm trong hệ thống phân cấp đa thức.
• Được biết, P = NP sẽ ngụ ý L ∈P.

Một ví dụ nhân tạo là tốt như một ví dụ tự nhiên. Ngoài ra, mặc dù tôi sử dụng chữ cái L , nhưng nó có thể là một vấn đề hứa hẹn thay vì ngôn ngữ nếu nó giúp.

Bối cảnh . Nếu chúng ta biết rằng một vấn đề quyết định L nằm trong hệ thống phân cấp đa thức, thì chúng ta biết rằng CƠ P = NP ⇒ L ∈P. Trọng mục đích của câu hỏi là hỏi liệu converse có giữ được không. Nếu một ngôn ngữ L thỏa mãn hai điều kiện trên tồn tại, thì nó có thể được coi là một bằng chứng cho thấy điều ngược lại thất bại.

Câu hỏi đã được thúc đẩy bởi nhận xét thú vị của Joe Fitzsimons cho câu trả lời của tôi cho câu hỏi của Walter Giám mục Hậu quả của #P = FP .

Vì bạn không bận tâm đến một ngôn ngữ nhân tạo, làm thế nào về việc xác định để trống nếu P bằng NP và là vấn đề dừng nếu P không bằng NP. Được rồi, đó là một chút gian lận, nhưng tôi nghĩ bạn sẽ cần phải viết lại vấn đề để tránh những trò gian lận đó. $L$

Nếu một ví dụ nhân tạo thực sự tốt như một ví dụ tự nhiên, thì tôi thực sự có thể cung cấp một ví dụ như vậy!

Chỉnh sửa: Hơn nữa, ví dụ của tôi là "ít" gian lận hơn so với đề xuất của Ravi Boppana (trong đó chúng tôi coi L là ngôn ngữ trống nếu P = NP và vấn đề tạm dừng khác), trong đó tôi sẽ xác định ngôn ngữ L bằng cách đưa ra một quy trình hữu hạn để quyết định xem L cho bất kỳ đầu vào x nào. Không có lúc nào quyết định liệu x∈L có yêu cầu giải một câu hỏi toán học "không giới hạn" như P so với NP hay không.$x \in$

Nếu không có thêm ado: hãy là một bảng liệt kê của máy Turing polytime. Đối với tất cả n , hãy để M t ( n ) là M i đầu tiên về mặt từ vựng quyết định chính xác 3SAT trên tất cả các đầu vào có độ dài n trở xuống. Sau đó, xác định ngôn ngữ L như sau: cho tất cả các đầu vào x có kích thước$M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$ , x ∈ L khi và chỉ khi máy Turing được mã hóa bởi x dừng lại tối đa n t ( n $n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ các bước khi chạy trên một băng trống.

Yêu cầu 1: Nếu P = NP, sau đó L P.$\in$

Chứng minh: Nếu P = NP, thì có một số M cố địnhgiải quyết 3SAT cho tất cả các đầu vào; do đó t ( n ) ≤ i cho tất cả n . QED$M_i$$t(n) \le i$$n$

Điểm 2: Nếu P NP, sau đó L ∉ P.$\ne$$\notin$

Chứng minh: Nếu tăng mà không bị ràng buộc, thì chúng ta chỉ cần áp dụng Định lý phân cấp thời gian. QED$t(n)$

Bây giờ, không chỉ L không ở P giả sử P NP: người ta cho rằng nó cũng sẽ không ở PH (hoặc thậm chí PSPACE)!$\ne$

Ngẫu nhiên, tôi tự hỏi liệu có ai có thể cải thiện cấu trúc trên không, để có được ngôn ngữ L trong P nếu P = NP, nhưng có thể không có trong PH hoặc PSPACE nếu P NP?$\ne$

Trả lời câu hỏi Scott Aaronson, nhưng một chút quá dài cho một lời nhận xét, đây là một công trình của một ngôn ngữ như vậy P = N P ngụ ý L ∈ P , nhưng P ≠ N P ngụ ý L ∉ P H .$L$$P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$

Hãy và t ( n ) như trong xây dựng của Scott. Chúng tôi làm cho nó để L không làm giảm đến Σ k S Một T cho mỗi k , nhưng chúng tôi chỉ làm điều này nếu t ( n ) → ∞ (tức là nếu P ≠ N P ). Việc xây dựng tiến hành theo từng giai đoạn. Ở giai đoạn s = ( i , j $M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$(sử dụng một số song ánh một cách dễ dàng tính toán và dễ dàng nghịch ), chúng tôi đảm bảo rằng M i không phải là một nhiều-one giảm từ L đến Σ j S Một T . Đặt n s là số nguyên nhỏ nhất sao cho t ( n s ) > t ( n s - 1 ) (trường hợp cơ sở: n 0 = 1 ). Nếu có số nguyên n s như vậy , thì đặt$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$$n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$$n_{0} = 1$$n_{s}$ . Nếu không có số nguyên n s như vậy, chúng ta để L trống rỗng sau đó.$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

Nếu , sau đó t ( n ) → ∞ như n → ∞ , do đó luôn luôn là như vậy một n s , do đó L không có trong P H . Nếu P = N P , sau đó tôi L là chỉ có hữu hạn khác nhau từ Scott L , và do đó là tại P .$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$