Các ví dụ tự nhiên của bằng chứng không tương đối là gì?

Theo tôi hiểu, một bằng chứng cho thấy P = NP hoặc P ≠ NP sẽ cần phải không tương đối (như trong các lý thuyết đệ quy đệ quy).

Hầu như tất cả các bằng chứng dường như là tương đối, mặc dù.

Các ví dụ tốt về các bằng chứng không tương đối, thuộc loại mà bằng chứng NP P = NP / P would cần phải là gì, không tầm thường hoặc bị tước đoạt?

(Tôi không phải là nhà lý thuyết đệ quy, vì vậy xin vui lòng bỏ qua việc thiếu trích dẫn.)

[EDIT: bài toán dòng chảy tốt hơn ]

Như Steven ghi chú, ví dụ kinh điển là . Sự sụp đổ này không tương đối hóa, theo nghĩa rằng có một oracle Một , chủ đề mà tôi P Một ≠ P S P Một C E Một . Trực giác tại sao bằng chứng được biết đến của kết quả này lại tránh được rào cản tương đối hóa là nó sử dụng tính chất hóa (Yonatan đã ám chỉ điều này trong một bình luận): một giao thức tương tác cho P S P A C $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$A$$\mathsf{IP}^A \ne \mathsf{PSPACE}^A$$\mathsf{PSPACE}$Vấn đề hoàn chỉnh TQBF được đưa ra bằng cách xem xét mở rộng công thức boolean được định lượng sang đa thức bậc thấp trên một trường lớn phù hợp. Nếu chúng ta được cung cấp một công thức boolean tương đối hóa (với các cổng orory), thì một phần mở rộng như vậy không tồn tại.

Có một sự sàng lọc của hàng rào tương đối hóa - sự phân chia - do Aaronson và Wigderson . Về mặt tổng quát, kỹ thuật số hóa không đủ để phá vỡ rào cản phân tách. Một bao gồm lớp phức tạp algebrizes nếu vì bất kỳ oracle Một và bất kỳ phần mở rộng ~ Một số Một để đa thức thấp độ hơn một trường hữu hạn, C Một ⊆ D ~ Một . Một tách C ⊄ D algebrizes nếu cho tất cả Một , và tất cả các phần mở rộng ~ Một , C ~ Một$\mathsf{C} \subseteq \mathsf{D}$$A$$\tilde{A}$$A$$\mathsf{C}^A \subseteq \mathsf{D}^{\tilde{A}}$$\mathsf{C} \not \subset \mathsf{D}$$A$$\tilde{A}$ . Aaronson và Wigderson chứng minh rằng tôi P = P S P Một C E algebrizes, nhưng nhiều kết quả khác, bao gồm N P ⊄ P , thì không.$\mathsf{C}^{\tilde{A}} \not \subset \mathsf{D}^{A}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{NP} \not \subset \mathsf{P}$

Một ví dụ gần đây của một kỹ thuật mà không algebrize hoặc tương đối hóa là bằng chứng Ryan Williams' rằng . Việc tách không algebrize: có một oracle Một và một phần mở rộng thấp độ ~ Một ví dụ mà N E X P ~ Một ⊂ A C C A . Theo trực giác lý do tại sao bằng chứng tránh được rào cản là vì nó dựa vào sự tồn tại của thuật toán thỏa mãn nhanh hơn tầm thường đối với A C $\mathsf{NEXP} \not \subset \mathsf{ACC}$$A$$\tilde{A}$$\mathsf{NEXP}^{\tilde{A}} \subset \mathsf{ACC}^A$$\mathsf{ACC}$các mạch và thuật toán sử dụng các đặc tính không tương đối và không liên kết của các mạch đó. Ryan lưu ý trong bài báo rằng tất cả các thuật toán thỏa mãn nhanh hơn tầm thường được biết đến đều bị phá vỡ khi các phép lạ hoặc phần mở rộng đại số của các phép lạ được thêm vào.

Ngoài ra còn có một cách tiếp cận thú vị để hiểu tương đối hóa thông qua logic. Trong một bản thảo cũ, Arora, Impagliazzo và Vazirani định nghĩa một hệ tiên đề sao cho các kết quả tương đối hóa chính xác là các kết quả tiếp theo từ các tiên đề, trong khi các kết quả không tương đối độc lập với hệ thống. Một bài báo của Impagliazzo, Kabanets và Kolokolova thực hiện một điều tương tự cho việc giải mã bằng cách đưa ra một tiên đề bổ sung cho những định nghĩa của Arora, Impagliazzo và Vazirani. Họ cho thấy rằng hầu hết các kết quả không tương đối được biết đến đều xuất phát từ các tiên đề của họ, trong khi P vs NP, trong số những người khác, độc lập với họ.

Xin lỗi nếu tôi có điều gì đó sai, tôi không hoàn toàn là một chuyên gia.

Dưới đây là danh sách các bằng chứng không tương đối:

1. Định lý PCP

2. Cam kết phụ thuộc vào trường hợp ngụ ý giao thức không kiến ​​thức:
   Sự tương đương giữa Không có kiến ​​thức và Cam kết

3. Không có bộ giải mã mạch "hộp đen ảo" hiệu quả cho các mạch chung:
   Sự tương đương giữa kiến ​​thức và cam kết bằng không

4. PSPACE có thể rút gọn để đánh giá một sản phẩm cô đọng của : PSPACe tồn tại trong các tắc nghẽn ba bit$S_5$
   

5. Chống lại các provers chưa được xử lý, NEXP có các hệ thống chứng minh 2 prover tương tác tối thiểu: Các hệ thống chứng
   minh một vòng hai prover: sức mạnh của chúng và các vấn đề của chúng

6. Chống lại các provers có thể vướng víu, NEXP có các giao thức MIP tương tác nhiều hơn:
   Một bằng chứng tương tác đa prover cho âm thanh NEXP chống lại các provers vướng víu

7. NP có kiến ​​thức chứng minh NISZK hiệu quả với khai thác kiến ​​thức hoàn hảo trong mô hình bit ẩn "phân phối không chuẩn có thể lấy mẫu hiệu quả" và mô hình kiến ​​thức chứng minh NIPZK hiệu quả trong mô hình bit ẩn (thực). Hơn nữa, nếu sampler được phép có một xác suất nhỏ xuất ra (và lành mạnh chỉ được yêu cầu để giữ khi sampler không ra ⊥ ), sau đó "NISZK" từ câu trước có thể được thay thế bằng "NIPZK". Jonathan Katz, Chủ đề nâng cao về Mật mã học, Bài giảng 13$\perp$$\perp$
   
   Lưu ý: Khai thác kiến ​​thức hoàn hảo sau khi kiểm tra phần âm thanh trên trang 2. Khai thác kiến ​​thức (không hoàn hảo) vì lý do tương tự như âm thanh không hoàn hảo, như được mô tả ở đầu trang 5. Kiến thức không hoàn hảo có thể thể thu được bằng cách sử dụng mô phỏng ma trận Hamiltonian như hoán vị của nó π , và một số các bit chuỗi thực tế tương ứng với thiên-bit có giá trị 0 như mình, chỉ chủ yếu tại các địa điểm khác nhau. Các "hơn nữa" câu sau bằng cách có đầu ra sampler $C_i$$\pi$$\perp$ nếu không thể chọn một phần tử từ {0,1,2,3, ..., n! -1} hoàn toàn đồng đều trong một khoảng thời gian đủ nhỏ, vì lựa chọn như vậy sẽ cho phép tạo ra một sự thống nhất hoàn hảo của một ma trận đồ thị chu kỳ có hướng hoặc một hoán vị của các đỉnh.

đây là một khảo sát tốt về lĩnh vực này bởi một chuyên gia hàng đầu tóm tắt / chi tiết một số điểm của các câu trả lời khác cho đến nay & có thêm ví dụ.

[1] Vai trò của thuyết tương đối hóa trong lý thuyết phức tạp Fortnow

Một số kết quả không liên quan gần đây trong lĩnh vực bằng chứng tương tác đã khiến nhiều người xem xét tầm quan trọng của việc tương đối hóa. Trong bài báo này, chúng tôi xem xét cách các nhà lý thuyết phức tạp sử dụng và sử dụng sai các kết quả tiên tri. Chúng tôi đặc biệt chú ý đến các hệ thống bằng chứng tương tác mới và kết quả kiểm tra chương trình và cố gắng hiểu lý do tại sao chúng không tương đối hóa. Chúng tôi cung cấp một số kết quả mới có thể giúp chúng tôi hiểu những câu hỏi này tốt hơn.