Co-NP-đầy đủ của tour TSP tối thiểu?

Vấn đề này xuất phát từ bài đăng trên blog gần đây của tôi , giả sử bạn được tham gia một chuyến tham quan TSP, liệu nó có phải là NP-đầy đủ để xác định xem đó có phải là một tối thiểu không?

Chính xác hơn là vấn đề NP-đầy đủ sau đây:

Sơ thẩm: Cho một đồ thị G hoàn chỉnh với các cạnh có trọng số dương và một chu kỳ C đơn giản truy cập tất cả các nút của G.

Câu hỏi: Có chu trình D đơn giản truy cập vào tất cả các nút của G sao cho tổng trọng số của tất cả các cạnh của D trong G nhỏ hơn tổng trọng số của tất cả các cạnh của C trong G không?

Một bản phác thảo về khả năng giảm có thể chứng minh rằng nó đã hoàn thành NP.

Một cách không chính thức, nó bắt đầu từ một công thức 3SAT đã sửa đổi được sử dụng để chỉ ra rằng 3SAT đã hoàn thành ASP (Vấn đề giải pháp khác) và "tuân theo" chuỗi giảm giá tiêu chuẩn 3SAT => HAMCYCLE TRỰC TIẾP => HAMCYCLE HIỂU => TSP

• Bắt đầu với một công thức 3SAT với n biến x 1 , . . . x n và m caluse C 1 , . . . , C m ;$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Trasform nó vào một công thức mới thêm một biến mới t ...;$\varphi'$$t$
• ... và mở rộng mỗi khoản để ( x i 1 ∨ x i 2$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$ ;$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• Từ xây dựng các kim cương cấu trúc đồ thị G = { V , E } dùng để chứng minh rằng đạo Hamiltonian VÒNG là NP-đầy đủ; giả sử rằng mỗi mệnh đề C j tương ứng với nút N j trong G ;$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Sửa vào đồ thị G ' = { V ' , E ' } thay thế mỗi nút u với ba nút liên kết u 1 , u 2 , u 3 và sửa đổi các cạnh theo việc giảm chuẩn được sử dụng để chứng minh NP-đầy đủ của vô hướng Hamilton CHU KỲ từ TRỰC TIẾP HAMILTONIAN tức là$G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$ là nút được sử dụng cho các cạnh đến, u 3 là nút được sử dụng cho các cạnh đi;$u_1$$u_3$
• Chuyển đổi các trường hợp chu kỳ vô hướng Hamilton trên để một trường hợp TSP T trong đó tất cả các cạnh của G ' có trọng lượng w = 1 , ngoại trừ (duy nhất) cạnh trong kim cương đi đến chuyển nhượng "tích cực" của t trong đó có trọng lượng w = 2 (cạnh màu đỏ trong hình bên dưới); cuối cùng các cạnh được thêm vào để làm cho G ′ hoàn thành có trọng số w = 3 .$G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Rõ ràng cá thể TSP có một chu trình đơn giản truy cập tất cả các nút tương ứng với việc gán thỏa mãn φ ′ trong đó t = t r u e (và chuyến tham quan này có thể dễ dàng được xây dựng trong thời gian đa thức), nhưng nó có tổng trọng số | V ' | + 1 (vì nó sử dụng cạnh tương ứng với phép gán t = t r u e có trọng số 2). T có một chu kỳ đơn giản khác là truy cập tất cả các nút có tổng trọng lượng thấp hơn | V ' $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$nếu và chỉ khi cạnh của trọng số tương ứng với phép gán t = t r u e không được sử dụng; hoặc tương đương khi và chỉ khi có một nhiệm vụ đáp ứng của φ ' trong đó t = f một l s đ ; nhưng điều này có thể đúng nếu và chỉ nếu công thức ban đầu φ là satisfiable.$2$$t = true$$\varphi'$$t = false$$\varphi$

Tôi sẽ suy nghĩ thêm về nó và tôi sẽ viết một bằng chứng chính thức (nếu nó không trở thành sai :-). Hãy cho tôi biết nếu bạn cần thêm chi tiết về một hoặc nhiều đoạn văn trên.

Như đã lưu ý bởi domotorp, một hậu quả thú vị là vấn đề sau là NP-đầy đủ: Đưa ra biểu đồ $G$ và một đường dẫn Hamilton trong đó, có chu trình Hamilton không?$G$

Papadimitriou & Steiglitz (1977) đã cho thấy sự hoàn thiện NP của vấn đề này.