Số lượng trạng thái của automata địa phương

Một automaton xác định $\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$ được gọi là $k$ -local cho $k > 0$ nếu với mọi $w \in X^k$ set $\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$ có chứa ít nhất một yếu tố. Theo trực giác có nghĩa là nếu một từ có độ dài dẫn đến một trạng thái, thì trạng thái này là duy nhất hoặc được nói khác với một từ có độ dài tùy ýk > $w$$k$$> k$ các ký hiệu cuối cùng xác định trạng thái nó dẫn đến.$k$

Bây giờ nếu một automaton là -local, sau đó nó không cần phải được k ' -local đối với một số k ' < k , nhưng nó phải được k ' -local cho k ' > k nguyên nhân những biểu tượng cuối cùng của một số từ | w | > k xác định trạng thái, nếu có, duy nhất.$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Bây giờ tôi cố gắng kết nối số lượng trạng thái và tiêu điểm của máy tự động. Tôi phỏng đoán:$k$

Bổ đề: Hãy được k -local, nếu | Q | < k thì máy tự động cũng | Q | -định hướng.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Nhưng tôi đã thất bại trong việc chứng minh, bất kỳ đề xuất hoặc ý tưởng?

Tôi hy vọng bằng cách bổ đề này để lấy được một cái gì đó về số lượng các tiểu bang của một automaton mà không phải là -local cho tất cả k ≤ N được đưa ra một cố định N > 0 , nhưng k -local đối với một số k > N .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Vì bạn nói rằng nên có ít nhất một yếu tố, tôi sẽ giả định rằng bạn sử dụng phiên bản của DFA nơi δ thể chỉ một phần. Thì đây là một phản ví dụ: X = { một , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , một ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$ với q < 4 và δ ( 1 , b ) = 2 , δ ( 2 , b ) = 3 , δ ( 4 , b ) = 0 . F và q 0 rõ ràng không quan trọng đối với câu hỏi này.$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

Máy tự động là tiêu điểm, nhưng không phải 5 tiêu điểm, vì T a b a a b = { 0 , 3 } .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Chỉnh sửa: ví dụ mẫu này không hoạt động, tôi sẽ giữ nó để các ý kiến ​​có ý nghĩa. Sau đây, mặc dù.

Lấy , với các chuyển tiếp 0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( b ) . Máy tự động này là $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-local, nhưng không phải -ocal: với a a b a , ta được các đường dẫn 0 → 1 → 2 → 0 → 1 và 1 → 2 → 3 → 2 → 3 , tức là T a a b a = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Một câu trả lời muộn, nhưng ràng buộc về độ trễ đồng bộ hóa đã được nghiên cứu cho một số loại automata: xem ví dụ Unigiguity Automata; Béal và cộng sự. MCS'08 .

Đặc biệt; có một gia đình của automata xác định rằng có sự chậm trễ như trình bày ở Trên ràng buộc của Đồng bộ hóa chậm trễ của một Automaton địa phương; Béal và cộng sự. TCS'98 , khớp với giới hạn trên O ( | Q | 2 ) tương ứng .$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS độ trễ đồng bộ hóa được xác định trong bài báo là tối thiểu mà tự động cục bộ xác định là k -local.$k$$k$