Là vấn đề đường mòn dài nhất dễ dàng hơn vấn đề con đường dài nhất?

Vấn đề con đường dài nhất là NP-hard. Bằng chứng (điển hình?) Dựa vào việc giảm vấn đề đường dẫn Hamilton (hoàn thành NP). Lưu ý rằng ở đây đường dẫn được thực hiện đơn giản (nút-). Đó là, không có đỉnh có thể xảy ra nhiều hơn một lần trong đường dẫn. Rõ ràng nó cũng đơn giản như vậy (không có cạnh nào xảy ra nhiều hơn một lần trong đường dẫn).

Vậy điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta bỏ yêu cầu tìm một đường dẫn đơn giản (nút-) và tìm kiếm một đường dẫn đơn giản (đường dẫn). Thoạt nhìn, vì việc tìm đường Euler dễ dàng hơn nhiều so với tìm đường Hamilton, người ta có thể hy vọng rằng việc tìm đường mòn dài nhất sẽ dễ hơn tìm đường dài nhất. Tuy nhiên, tôi không thể tìm thấy bất kỳ tài liệu tham khảo nào chứng minh điều này, chứ chưa nói đến một tài liệu cung cấp thuật toán.

Lưu ý rằng tôi biết về đối số được đưa ra ở đây: /programming/8368547/how-to-find-the-longest-ematviest-trail-in-an-undirected- weighted-graph Tuy nhiên, đối số có vẻ như thiếu sót ở dạng hiện tại của nó, vì về cơ bản nó cho thấy bạn có thể giải quyết trường hợp đơn giản cạnh bằng cách giải quyết trường hợp đơn giản nút trên một biểu đồ khác (vì vậy việc giảm là sai cách). Không rõ ràng rằng việc giảm cũng có thể dễ dàng thay đổi để hoạt động theo cách khác. (Tuy nhiên, điều đó cho thấy rằng ít nhất thì vấn đề về con đường dài nhất không khó hơn vấn đề về con đường dài nhất.)

Vì vậy, có bất kỳ kết quả được biết đến để tìm ra những con đường dài nhất (đường dẫn đơn giản)? Độ phức tạp (lớp)? (Hiệu quả) thuật toán?

Từ các ý kiến ​​trên: vấn đề chu trình Hamilton vẫn hoàn thành NP ngay cả trong các biểu đồ lưới có mức độ tối đa 3 [1], nhưng trong các biểu đồ này, mọi giao dịch của một nút đều yêu cầu hai cạnh và nhiều nhất một cạnh vẫn không được sử dụng, do đó, một nút không thể đi qua hai lần bởi một con đường Euler.

Vì vậy, rõ ràng có một sự giảm ngay lập tức từ vấn đề chu trình Hamilton đến vấn đề của bạn: đưa ra một biểu đồ lưới có độ lớn tối đa 3 , chỉ cần yêu cầu một vệt dài.| V $G = (V,E)$$|V|$

Nhưng tất cả ba cạnh của nút ở cuối đường mòn có thể được sử dụng; để tránh tình trạng này, bạn có thể chọn nút trên cùng bên trái của biểu đồ lưới (có độ hai) và thêm hai nút: và cạnh mới và yêu cầu một vệt dài : không chính thức các lực cạnh được thêm vào là điểm cuối của đường mòn.$u$E = E ∪ { ( u , u ′ ) , ( u , u ″ ) } | V ' | = | V | + 2 u ' , u $V' = V \cup \{u',u''\}$$E = E \cup \{(u,u'), (u,u'')\}$$|V'| = |V|+2$$u',u''$

[1] Christos H Papadimitriou, Umesh V Vazirani, Về hai vấn đề hình học liên quan đến vấn đề nhân viên bán hàng du lịch, Tạp chí Thuật toán, Tập 5, Số 2, Tháng Sáu 1984, Trang 231-246, ISSN 0196-6774