Lượng màu tối thiểu ngăn chặn một subtrigin có màu đồng đều

Trong Bundeswettberweb Infomatik 2010/2011, có một vấn đề thú vị:

Đối với cố định , tìm tối thiểu và bản đồ , sao cho không có bộ ba với .$n$$k$( i , j ) , ( i + l , j ) , ( i + l , j + l ) φ ( i , j ) = φ ( i + l , j $\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$$(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$$\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

Cụ thể, chúng tôi đang tìm kiếm số lượng màu tối thiểu cho một hình tam giác, sao cho không có các phần tử con bằng nhau có màu đồng nhất (hình ảnh sau đây cho thấy một màu không hợp lệ khi các đỉnh được tô sáng tạo thành một phần phụ tương đương có màu đồng nhất):

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

Trong thực tế, họ đã yêu cầu một nhỏ hợp lý cho và trong giải pháp (viết bằng tiếng Đức), họ lưu ý rằng một cách tiếp cận tham lam mang lại một màu với màu cho , có thể giảm xuống bằng cách ngẫu nhiên các màu cho đến khi giải pháp hợp lệ được tìm thấy.n = $k$$n=1000$n = 1000 $27$$n=1000$$15$

Tôi quan tâm đến các giải pháp chính xác (cho nhỏ hơn ). Giải pháp nói rằng việc quay lại mang lại màu là đủ cho và là đủ cho , trong đó việc quay lui đã thực sự chậm đối với .2 n ∈ { 2 , 3 , 4 } 3 5 ≤ n ≤ 17 n = $n$$2$$n\in\{2,3,4\}$$3$$5\leq n \leq 17$$n=17$

Đầu tiên tôi đã thử sử dụng công thức ILP và Gurobi để nhận được một số kết quả cho , nhưng nó quá chậm (đã cho ). Sau đó, tôi đã sử dụng một bộ giải SAT , bởi vì tôi nhận thấy rằng có một công thức chuyển tiếp thẳng như một ví dụ SAT.n = $n>17$$n=17$

Với cách tiếp cận đó, tôi có thể tạo ra một giải pháp với màu cho trong vòng phút:n = 18 $3$$n=18$$10$

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

Nhưng để quyết định nếu màu đủ cho thì nó đã quá chậm. Có một số cách tiếp cận khác nhau đưa ra giải pháp chính xác cho không? Chắc chắn chúng ta không thể mong đợi một thuật toán đa thức.n = 19 n ≥ $3$$n=19$$n \geq 19$

Chỉ cần một nhận xét mở rộng:

Bạn có thể xem cách tiếp cận được sử dụng bởi Steinbach và Posthoff để tìm ra 4 màu của lưới 18x18 (và 12x21) mà không có hình chữ nhật đơn sắc :

Bernd Steinbach và Christian Posthoff, Giải pháp của lưới không có hình chữ nhật bốn màu mở cuối cùng là một vấn đề cực kỳ phức tạp . Trong Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề quốc tế lần thứ 43 năm 2013 về Logic đa giá trị (ISMVL '13)

Như được chứng minh bởi Gasarch et al. được cung cấp một phần màu của một hình chữ nhật tùy ý , nó hoàn toàn NP để quyết định xem màu có thể được mở rộng ra toàn bộ hình chữ nhật mà không có hình chữ nhật đơn sắc: Daniel Apon, William Gasarch, Kevin Lawler, Một vấn đề NP-Complete trong lưới màu . Vì vậy, có nhiều khả năng vấn đề là NP hoàn thành ngay cả đối với các tam giác đều .... Tôi nghĩ rằng nó sẽ là một kết quả tốt đẹp để chứng minh điều đó.n × $c$$n \times m$

Chỉ là một lưu ý phụ: Tôi đã dành hàng tuần chu kỳ CPU cho vấn đề 4 màu không có hình chữ nhật đơn sắc nhưng tôi đã bắt đầu từ một kết quả sai một phần (một phân tích sai trước đó đã hạn chế số lượng cấu hình phụ 1 màu có thể) và tôi đã sử dụng bộ giải hạn chế STP ; bạn có thể đạt được những cải tiến lớn nếu bạn thêm các ràng buộc phá vỡ các đối xứng (ví dụ: thứ tự tô màu một cạnh của tam giác) và cố gắng phân tích các cấu hình có thể chỉ bằng 1 màu.

EDIT: đây là kết quả của chương trình STP cho n = 19 (~ 1 phút.)

Sử dụng cách tiếp cận dựa trên SAT, tôi có thể xác nhận mọi trường hợp là 3 màu có thể lên tới . Trình giải tìm kiếm cục bộ tìm thấy giải pháp cho vẫn khá nhanh trên máy tính để bàn hiện đại. Tôi đã thử cách tiếp cận tương tự với , nhưng không thu được giải pháp nào trong khoảng 96 giờ. Do đó nó là hấp dẫn để phỏng đoán rằng là không 3 có lẽ thật nữa. (Tôi cũng nhận xét rằng một màu 4 được tìm thấy ngay lập tức cho ).n = 22 n = 23 n = 23 n = $n \leq 22$$n=22$$n=23$$n=23$$n=23$

$n=19$$n=23$

$n=22$

Rất cám ơn Marzio đã tạo ra hình ảnh, và cho tôi biết về vấn đề này! :-)