Là một hoán vị p có phải là tính tự động của đồ thị trong tập hợp của tôi không?

Giả sử chúng ta có một bộ đồ thị S (đồ thị hữu hạn, nhưng số lượng vô hạn của chúng) và một nhóm P hoán vị tác dụng lên S.

Sơ thẩm: Một hoán vị p trong P.

Câu hỏi: Có tồn tại một đồ thị g trong S thừa nhận tính tự động p không?

Là vấn đề NP-đầy đủ cho một số bộ S?

Sẽ dễ dàng kiểm tra xem biểu đồ thừa nhận hoán vị p (tức là chứng chỉ). Hơn nữa, thật dễ dàng tìm thấy các ví dụ về S trong đó vấn đề không phải là NP hoàn chỉnh, chẳng hạn như S là tập hợp các biểu đồ hoàn chỉnh, vì vậy câu trả lời luôn luôn là có.

Lưu ý: Tôi không thực sự quan tâm đến loại biểu đồ; nếu bạn thích chúng có thể không đơn giản, hướng dẫn, tô màu, v.v.

ĐỊA CHỈ: Vấn đề tôi hiện đang xem xét là phân loại đồng vị nào là tự kỷ của hình vuông Latin (cũng có thể được hiểu là một dạng tự động hóa đồ thị đặc biệt).

Cho một hình vuông L (i, j) Latin, chúng ta có thể xây dựng một biểu đồ theo cách sau:

• Tập đỉnh là tập hợp các ô (i, j) trong ma trận và
• Có một cạnh giữa khác biệt (i, j) và (i ', j') bất cứ khi nào i = i 'hoặc j = j' hoặc L (i, j) = L (i ', j').

Một biểu đồ như vậy được gọi là biểu đồ vuông Latin (xem ví dụ bài viết này của Bailey và Cameron http://designtheory.org/l Library / encyc / topics / lsee.pdf ). Chúng ta có thể hiểu một sự tự động của một hình vuông Latin là sự tự động hóa của đồ thị hình vuông Latin. Vì vậy, hãy để S là tập hợp các đồ thị hình vuông Latin được hình thành từ các hình vuông Latin theo thứ tự n. Vì vậy, câu hỏi tôi quan tâm là:

Cho một hoán vị p, p có phải là tự động của một (hoặc nhiều) đồ thị trong S không?

Cảm giác của tôi là đó là một câu hỏi khó trả lời nói chung - tôi hiện đang viết một bài trên 30 trang về vấn đề này (với 2 đồng tác giả). Trên thực tế hầu hết thời gian là dễ dàng (hầu hết thời gian là "không"), nhưng có một số trường hợp khó khăn.

Vì vậy, tôi quan tâm đến việc tìm kiếm các vấn đề quyết định có liên quan đến "phân loại đối xứng". Chúng không thực sự cần liên quan đến hình vuông Latin, tôi chỉ hy vọng sử dụng những kỹ thuật này để trả lời câu hỏi cho hình vuông Latin.

Lấy bất kỳ ngôn ngữ (bao gồm các chuỗi nhị phân). Xây dựng tập S của đồ thị như sau:$L$$S$

• Đối với mỗi chuỗi với | x | = n , ta có đồ thị G x = ( V x , E x ) trong S , với tập hợp các nút V x = { 1 , 2 , . . . , 3 n } và các cạnh sau: nếu bit i của x là 0 , thì các nút 3 i - 2 và $x \in L$$|x| = n$$G_x = (V_x,E_x)$$S$$V_x = \{1,2,...,3n\}$$i$$x$$0$$3i-2$ liền kề, nếu không thì 3 i - 2 và 3 i liền kề. Không có cạnh khác.$3i-1$$3i-2$$3i$

Bây giờ hãy để là hoán vị của { 1 , 2 , . . . , 3 n } . Giả sử rằng p là một automorphism của một số đồ thị trong S . Đó là, p là một automorphism của G y đối với một số y ∈ L . Đặt i ∈ { 1 , 2 , . . . , n $p$$\{1,2,...,3n\}$$p$$S$$p$$G_y$$y \in L$$i \in \{1,2,...,n\}$ . Chúng ta hãy xem xét hai trường hợp sau đây:

• , p ( 3 i - 1 ) = 3 i - 2 , p ( 3 i ) = 3 i . Khi đó ta phải có bit i của y bằng$p(3i-2) = 3i-1$$p(3i-1) = 3i-2$$p(3i) = 3i$$i$$y$$0$ .
• , p ( 3 i - 1 ) = 3 i - 1 , p ( 3 i ) = 3 i - 2 . Khi đó ta phải có bit i của y bằng$p(3i-2) = 3i$$p(3i-1) = 3i-1$$p(3i) = 3i-2$$i$$y$$1$ .

Do đó, nếu chúng ta có thể giải câu hỏi "là một tính tự động cho của một số G ∈ S ", chúng ta cũng có thể giải câu hỏi "là một chuỗi y đã cho trong L ". Hơn nữa, nếu chúng ta có thể thực hiện trước đây, thời gian đa thức trong | p | , chúng ta có thể thực hiện sau trong thời gian đa thức trong | y $p$$G \in S$$y$$L$$|p|$$|y|$cũng.

Bây giờ bạn chỉ có thể để là vấn đề NP-hard yêu thích của bạn. Hoặc vấn đề tạm dừng ...$L$