Sự tương đương của kiểm tra tính khả thi và tối ưu hóa cho các hệ thống tuyến tính

Một cách để chỉ ra rằng việc kiểm tra tính khả thi của một hệ bất đẳng thức tuyến tính cũng khó như lập trình tuyến tính thông qua việc giảm được đưa ra bởi phương pháp ellipsoid. Một cách thậm chí còn dễ dàng hơn là đoán giải pháp tối ưu và giới thiệu nó như một ràng buộc thông qua tìm kiếm nhị phân.

Cả hai mức giảm này đều là đa thức, nhưng không phải là đa thức mạnh (tức là chúng phụ thuộc vào số lượng bit trong các hệ số của bất đẳng thức).

Có sự giảm đa thức mạnh mẽ từ tối ưu hóa LP sang tính khả thi của LP không?

ds.algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
nguồn

thực tế là không Đó là như bạn nói. Tôi nhận ra rằng tối ưu hóa LP giải quyết tính khả thi của LP. Tôi đang yêu cầu giảm ngược lại.

— Suresh Venkat

Chà, đầu ra để tối ưu hóa có thể có nhiều bit như "số bit trong các hệ số", trong khi tính khả thi là có / không. Do đó, nếu giảm nghĩa là "hộp đen" - thì câu trả lời phải là phủ định.

— Trưa

Nhưng, nếu kiểm tra tính khả thi không chỉ đưa ra câu trả lời có / không như thảo luận của Noam ở trên, mà trong trường hợp tính khả thi cung cấp một giải pháp khả thi, thì câu trả lời là có, bởi tính đối ngẫu LP.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@SureshVenkat: Giả sử primal là chương trình tối đa hóa trong các biến

, với kép sau đó là chương trình tối thiểu hóa trong các biến

. Sau đó hình thành hệ thống bất đẳng thức trong các biến

, lấy các ràng buộc từ cả số nguyên tố và giá trị kép, cùng với bất đẳng thức nói rằng giá trị của giải pháp nguyên thủy ít nhất là giá trị của giải pháp kép. Các trường hợp LP không khả thi và không bị ràng buộc cũng có thể được xử lý.

x

$x$

y

$y$

x, y

$x,y$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Điều gì về polytopes / polyhedra được xác định bởi các ràng buộc ngầm?

— Chandra Chekuri

Câu trả lời là có, và trên thực tế người ta thậm chí có thể giảm bớt vấn đề quyết định về tính bất bình đẳng tuyến tính!

Chúng tôi là đầu vào được cung cấp một phiên bản LP P: . $\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

Ngoài ra, chúng tôi còn có quyền truy cập vào một nhà tiên tri đưa ra một hệ bất đẳng thức trả về có / không, cho dù hệ thống có khả thi hay không. $S=\{Bz \leq d\}$

Việc giảm bây giờ tiến hành như sau:

Kiểm tra nếu là khả thi. Nếu không, chúng ta có thể báo cáo rằng P là INFEASIBLE. $S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
Hình thành chương trình kép D: . $\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
Kiểm tra nếu là khả thi. Nếu không, chúng ta có thể báo cáo rằng P KHÔNG BỊ XÓA. $S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
Lặp lại các bất đẳng thức của và cố gắng thêm từng điểm một dưới dạng bất đẳng thức (nghĩa là thêm bất đẳng thức ngược) vào hệ thống . Nếu hệ thống vẫn khả thi, chúng tôi sẽ giữ ràng buộc trong và nếu không thì gỡ bỏ nó một lần nữa. Đặt là hệ thống các ràng buộc (đẳng thức tuyến tính) được thêm vào theo cách này. Hệ thống giờ đây sẽ hoàn toàn xác định một giải pháp cơ bản tối ưu cho P. $S_1$ $S_2$ $S_2$ $S_3$ $S_3$
Sử dụng Gaussian Elimination trên hệ thống tính toán một giải pháp tối ưu đến P. $S_3$ $x$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
nguồn

S_{2}

$S_2$

P

$P$

@hengxin. Nó viết trong dòng đầu tiên của câu trả lời của tôi rằng câu trả lời là có ngay cả khi xem xét giảm đến vấn đề quyết định. Dưới đây tôi rõ ràng đưa ra giả định đó, và do đó bước 4 và 5 là bắt buộc.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen