Tập hợp phân biệt tối đa: hệ số gần đúng thực tế của thuật toán tham lam là gì?

Xem xét vấn đề tìm một tập hợp rời rạc tối đa - một tập hợp tối đa các hình dạng hình học không chồng chéo, từ một bộ sưu tập các ứng cử viên nhất định. Đây là một vấn đề hoàn chỉnh NP, nhưng trong nhiều trường hợp, thuật toán tham lam sau đây mang lại một xấp xỉ hệ số không đổi:

• Đối với mỗi hình dạng ứng viên x , hãy tính số giao điểm tách rời của nó = số lượng hình dạng tách rời lớn nhất giao nhau x .$DIN(x)$
• Chọn hình dạng ứng cử viên có DIN nhỏ nhất ( ). Loại bỏ nó và tất cả các hình dạng nó giao nhau.$\arg \min_{x} DIN(x)$
• Tiếp tục cho đến khi không còn ứng cử viên.

Ví dụ, hãy xem xét hình dưới đây từ trang Wikipedia:

Đĩa xanh giao nhau với 5 đĩa khác, nhưng DIN của nó là 3 (3 đĩa đỏ tách rời nhau). Các đĩa đỏ trên cùng và dưới cùng giao nhau với 2 đĩa khác, nhưng chúng tự giao nhau, vì vậy DIN của chúng là 1. Các đĩa màu vàng có DIN là 2. Thuật toán tham lam do đó chọn đĩa đỏ trên cùng hoặc trên cùng.

Nếu DIN tối thiểu có thể được giới hạn bởi một hằng số, thì thuật toán tham lam là một xấp xỉ hệ số xấp xỉ hằng số đa thức.

Ví dụ: nếu tất cả các hình dạng ứng cử viên là đĩa đơn vị, Maredit et al (1995) cho thấy rằng một đĩa có DIN tối đa 3 luôn tồn tại: đĩa ngoài cùng bên trái (đĩa có tọa độ x nhỏ nhất) giao nhau với nhiều nhất 3 đĩa khác nhau . Do đó, thuật toán tham lam mang lại xấp xỉ 3 vì nó thu được 1 đĩa cho mỗi (nhiều nhất) 3 đĩa trong giải pháp tối ưu.

Tương tự, nếu tất cả các hình dạng ứng cử viên là các đĩa có kích thước tùy ý, thuật toán tham lam mang lại xấp xỉ 5, vì đĩa nhỏ nhất giao nhau với tối đa 5 đĩa khác nhau, tức là DIN tối thiểu nhiều nhất là 5.

Cho đến nay là tốt, nhưng những yếu tố của 3 và 5 chặt chẽ? Tôi không chắc.

Hãy xem xét hình trên. Chọn đĩa ngoài cùng bên trái (màu xanh lá cây) sẽ tìm thấy một tập hợp kích thước 1, thực sự là một xấp xỉ 3 với tập hợp tách rời tối đa của kích thước 3 (màu đỏ), nhưng, thuật toán tham lam sẽ không chọn đĩa màu xanh lá cây - nó sẽ chọn đĩa đỏ trên / dưới, có DIN là 1. Trong trường hợp này, thuật toán tham lam sẽ tìm ra giải pháp tối ưu.

Tôi không thể tìm thấy một ví dụ ngược lại cho chung , trong đó thuật toán tham lam tìm thấy một tập hợp rời rạc với đĩa đơn vị trong khi tập tách rời tối đa có . Trên thực tế, tôi thậm chí không thể xây dựng một ví dụ phản biện chung trong đó DIN tối thiểu thực sự là 3. Điều tốt nhất tôi có thể đưa ra là sau đây, trong đó mỗi đĩa đơn vị giao nhau tối đa 2 đĩa khác nhau (ví dụ DIN tối thiểu là 2). Nhưng ngay cả ở đây, thuật toán tham lam tìm ra giải pháp tối ưu hơn là xấp xỉ 2:n 3 $n$$n$$3n$

Câu hỏi của tôi là:

• Là gì thực tế max phút DIN trong bộ sưu tập của đơn vị đĩa? Đĩa có kích thước tùy ý?
• Là gì thực tế yếu tố xấp xỉ của các thuật toán tham lam cho bộ sưu tập của đơn vị đĩa? Đối với đĩa có kích thước tùy ý? (hệ số này lớn nhất bằng DIN tối đa, nhưng có thể nhỏ hơn).

CẬP NHẬT: Với mỗi k-tuple hình dạng, , xác định = số lượng hình dạng rời rạc lớn nhất được giao bởi liên minh . Xác định là DIN tối thiểu trên tất cả các k-tuples có hình dạng rời rạc. D Tôi N ( x 1 , . . . , X k ) x 1 ∪ . . . ∪ x k m i n D I N $x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

Ví dụ: trong câu trả lời của Yury bên dưới, , vì mỗi vòng tròn giao nhau với 3 vòng tròn khác. , vì có thể chọn 2 vòng tròn tách rời nhau, một từ vòng tròn bên ngoài và một từ vòng tròn bên trong, cùng nhau chỉ giao nhau với 4 vòng tròn khác. Với mọi , .$minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

Tôi nghĩ rằng tỷ lệ gần đúng của thuật toán tham lam có thể bị giới hạn bởi , bởi vì, với mỗi hình dạng trong giải pháp tối ưu, chúng tôi có ít nhất hình dạng trong đầu ra thuật toán. Điều này có đúng không?$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

EDIT: Bây giờ tôi đang đọc cuốn sách tuyệt vời Các vấn đề nghiên cứu về hình học rời rạc . Trong khi tôi không tìm thấy vấn đề chính xác này, tôi đã tìm thấy một vấn đề có vẻ liên quan. Trong phần "2.5 Gói mỏng với nhiều hàng xóm", có các ví dụ về gói vòng tròn trong đó mỗi vòng tròn chạm vào 5 vòng tròn khác. Tôi tự hỏi nếu một bao bì như vậy có thể mang lại một cấu hình của các vòng tròn với DIN = 5.

DIN tối thiểu thực tế tối đa trong bộ sưu tập đĩa đơn vị là gì?

Đó là 3.