Vấn đề NP-hard trên đường dẫn

22

mọi người đều biết có tồn tại nhiều vấn đề quyết định là NP-hard trên các biểu đồ chung, nhưng tôi quan tâm đến các vấn đề thậm chí là NP-hard khi biểu đồ cơ bản là một đường dẫn. Vì vậy, bạn có thể giúp tôi thu thập các vấn đề như vậy?

Tôi đã tìm thấy một câu hỏi liên quan về các vấn đề NP-hard trên cây .

graph-theory np-hardness

— Benjamin
nguồn

21

Nếu bạn thấy câu hỏi đó, bạn cũng nên đọc kỹ câu trả lời được chấp nhận: "Thực hiện bất kỳ vấn đề NP-hard nào liên quan đến siêu hậu quả, siêu phân tầng, chuỗi con, v.v. Sau đó diễn giải lại một chuỗi dưới dạng biểu đồ đường dẫn được gắn nhãn."

— Saeed

2

Chỉ cần lưu ý: nếu các đường dẫn không được gắn nhãn, rõ ràng chúng có khả năng nén cao và biểu diễn nhỏ gọn là một lựa chọn hợp lý (

bit để thể hiện đường dẫn của

nút) ... vì vậy bạn cũng có thể "chuyển đổi" các vấn đề khó khăn 't sử dụng mã hóa đơn nguyên; ví dụ: tập hợp con: cho

đường dẫn không nhãn có độ dài

, có tồn tại một tập hợp con của chúng có thể được nối để tạo thành một đường dẫn có độ dài

không?

\log n

$\log n$

n

$n$

n

$n$

a_{1}, . . ., a_{n}

$a_1,...,a_n$

b

$b$

— Marzio De Biasi

24

Kết hợp cầu vồng trong đồ thị màu cạnh là kết hợp có các cạnh có màu riêng biệt. Vấn đề là: đưa ra một đồ thị có cạnh và số nguyên , có cầu vồng khớp với ít nhất cạnh không? Đây được gọi là vấn đề khớp cầu vồng và NP -complete của nó ngay cả đối với các đường dẫn có màu cạnh đúng. Các tác giả thậm chí lưu ý rằng trước kết quả này, không có vấn đề đồ thị không trọng số nào được biết đến là NP -hard cho các đường dẫn đơn giản đến kiến thức tốt nhất của họ. $G$ $k$ $G$ $k$

Xem Lê, Văn Bằng và Florian Pfender. "Kết quả phức tạp cho trận đấu cầu vồng." Khoa học máy tính lý thuyết (2013) , hoặc phiên bản arXiv .

— Juho
nguồn

8

Dưới đây là một số quan sát đơn giản.

Một biểu đồ đường dẫn không màu về cơ bản mã hóa một số nguyên, do đó bạn có thể xử lý bất kỳ vấn đề NP-hard nào liên quan đến các số nguyên được mã hóa đơn nguyên và diễn giải lại nó như một vấn đề về biểu đồ đường dẫn. Nếu bạn cho phép nhiều số nguyên được mã hóa theo đơn nguyên (= một liên kết rời rạc của đồ thị đường dẫn), thì bạn có thể sử dụng một số vấn đề hoàn chỉnh NP mạnh như 3-Phân vùng.
Biểu đồ đường dẫn màu được mã hóa một từ trên bảng chữ cái cố định, do đó, một lần nữa bạn có thể thực hiện bài toán NP-hard trên các từ. Một ví dụ mà tôi biết là vấn đề Yếu tố rời rạc được giới thiệu trong Bodlaender, Thomassé và Yeo .

— Super0
nguồn

3

Về cơ bản đó là nhận xét của @ Saeed ..

— RB

Phải, sau đó cảm thấy thoải mái để trả lời của tôi. Đối với các vấn đề NP-hard trên cây, tôi có thể đề cập đến vấn đề Băng thông nổi tiếng; nó thực sự đã được chứng minh là khó cho hệ thống phân cấp W trong một báo cáo nghiên cứu của Bodlaender, mà tôi không thể tìm thấy trực tuyến.

— Super0

6

MotCC Graph Motif là NP-hard khi đồ thị là một đường dẫn (thậm chí là APX-hard). Đưa ra một biểu đồ với các màu trên các đỉnh và một tập hợp các màu, tìm một sơ đồ con phù hợp với tập hợp các màu và giảm thiểu số lượng comp được kết nối. Xem các vấn đề phức tạp trong khớp mẫu đồ thị màu đỉnh, JDA 2011.

— Olf
nguồn

5

Cho một đường dẫn có nút và cạnh có trọng số , tìm xem các nút có thể được gắn nhãn bằng cách sử dụng các số trong (tránh nhãn trùng lặp) sao cho chênh lệch tuyệt đối nhãn của hai nút liền kề bằng trọng lượng của cạnh: $n$ $1 \leq \text{weight}(u,v) < n$ $[1..n]$

| lab (u) - lab (v) | = weight (u, v)

$| \text{lab}(u) - \text{lab}(v)| = \text{weight}(u,v)$

Điều này tương đương với Tái thiết cho phép từ sự khác biệt là NPC (một trong những kết quả "không chính thức" của tôi :-).

— Marzio De Biasi
nguồn

3

Một câu trả lời tầm thường gần với một số điều xuất hiện ở trên nhưng, tôi nghĩ, khác biệt.

$f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$ $\langle k,m,w\rangle$ $f(k,m,w)$ $m$ $w$ $n^{\log k}$ $n$ $\log k$ $k$ trong unary.) Tập hợp các giá trị đó có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các đường dẫn.

— David Richerby
nguồn

3

Vấn đề dòng chảy không thể chia tách (UFP) vẫn là NP-hard trên một đường dẫn. Thật vậy, UFP là NP-hard ngay cả trên một cạnh, vì nó tương đương với vấn đề Knapsack.

— Arindam Pal
nguồn

3

Bộ thống trị cầu vồng (RDS) vẫn là NP-hard trên các đường dẫn. Cho một đồ thị màu đỉnh, RDS là một DS trong đó mỗi màu của đồ thị xuất hiện ít nhất một lần.

Các bộ thống trị nhiệt đới trong các đồ thị màu đỉnh , JDA'18

— Olf
nguồn

2

Tập hợp thống trị và Tập thống trị độc lập là NP-hard trên các đường dẫn nếu cũng có trong "biểu đồ xung đột", trong đó một cạnh trong biểu đồ này là một cặp đỉnh không thể có trong cả hai giải pháp.

Cornet, Alexis; Các vấn đề của Laforest, Christian , Sự thống trị không có xung đột , Appl rời rạc. Môn Toán. 244, 78-88 (2018). ZBL1387.05181 .

— Olf
nguồn