Kỹ thuật cho thấy vấn đề là ở độ cứng

Đưa ra một vấn đề mới trong có độ phức tạp thực sự nằm ở đâu đó giữa và hoàn thành NP, có hai phương pháp mà tôi biết có thể được sử dụng để chứng minh rằng việc giải quyết vấn đề này là khó khăn:$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

1. Cho thấy vấn đề là GI-Complete (GI = Đồ thị đẳng hình)
2. Cho thấy vấn đề nằm ở . Theo kết quả đã biết, kết quả như vậy ngụ ý rằng nếu sự cố hoàn thành NP, thì PH sụp đổ xuống cấp thứ hai. Ví dụ, giao thức nổi tiếng cho đồ thị không biến dạng thực hiện chính xác điều này.$\mathsf{co-AM}$

Có phương pháp nào khác (có thể với "sức mạnh niềm tin" khác nhau) đã được sử dụng không? Đối với bất kỳ câu trả lời nào, một ví dụ về nơi nó thực sự được sử dụng là bắt buộc: rõ ràng có nhiều cách người ta có thể cố gắng thể hiện điều này, nhưng các ví dụ làm cho lập luận thuyết phục hơn.

Cho thấy vấn đề của bạn là ở coAM (hoặc SZK) thực sự là một trong những cách chính để thêm bằng chứng cho "limbo cứng". Nhưng bên cạnh đó, có một số người khác:

• Cho thấy vấn đề của bạn nằm ở NP ∩ coNP. (Ví dụ: Bao thanh toán.)
• Cho thấy rằng vấn đề của bạn có thể giải quyết được trong thời gian quasipolynomial. (Ví dụ: Kích thước VC, xấp xỉ các trò chơi miễn phí.)
• Cho thấy rằng vấn đề của bạn không khó hơn việc đảo ngược các hàm một chiều hoặc giải NP trung bình. (Ví dụ: Rất nhiều vấn đề trong mật mã.)
• Cho thấy vấn đề của bạn giảm xuống (ví dụ) Trò chơi độc đáo hoặc Mở rộng cài đặt nhỏ.
• Cho thấy vấn đề của bạn là trong BQP. (Ví dụ: Bao thanh toán, mặc dù tất nhiên đó cũng nằm trong NP ∩ coNP.)
• Loại trừ các lớp lớn giảm NP-đầy đủ. (Ví dụ: Bài toán tối thiểu hóa mạch, được nghiên cứu bởi Kabanets và Cai.)

Tôi chắc chắn có những người khác mà tôi đang quên.

Từ nhận xét trên: nếu một vấn đề có vẻ đủ khó, nhưng bạn không thể chứng minh rằng đó là NP-đầy đủ, kiểm tra nhanh là đếm số chuỗi có độ dài trong ngôn ngữ: nếu tập hợp thưa thớt không thể là NPC, nếu không thì P = NP theo định lý của Mahaney ... vì vậy tốt hơn hết là bạn nên nỗ lực để chứng minh rằng nó nằm trong P :-) :-)$n$

Một ví dụ là vấn đề phân vùng số vào hộp k (từ blog của Fortnow & Gasarch, nguồn gốc: Cyberpu phun của Doctor Ecco ):

{ 1 , . . . , n }  vào tối đa k hộp sao cho không có hộp nào có  x , y , z  với  x + y = z $\{ (n,k) \mid \text{ there exists a way to partition }$ $\{1,...,n\} \text{ into at most k boxes so that no box has } x,y,z \text{ with } x+y=z \}$

Dưới đây là ba bổ sung vào danh sách của Scott:

• Hiển thị vấn đề của bạn là trong vàiP. Điều này có nghĩa là số lượng các giải pháp được giới hạn bởi một số đa thức. (Ví dụ: Vấn đề quay vòng). Không có vấn đề NP-đầy đủ được biết là trong vàiP. (không thể trừ khi fewP = NP).
• $LOGNP$$NP[log^2n]$
• $2^{n^{\epsilon}}$$NP$$\epsilon \gt 0$$n\ge 0$$2^{n^{\epsilon}}$$n$

$coNP ⊆ NP/poly$