Tại sao rất ít ứng cử viên tự nhiên cho tình trạng trung gian NP?

Định lý của Ladner được biết đến là nếu , thì tồn tại vô số vấn đề -inter liền ( ). Ngoài ra còn có các ứng cử viên tự nhiên cho trạng thái này, chẳng hạn như Đồng phân đồ thị và một số người khác, xem Vấn đề giữa P và NPC . Tuy nhiên, đại đa số trong đám đông các biểu tượng được biết là trong hoặc . Chỉ một phần nhỏ trong số họ vẫn là ứng cử viên cho . Nói cách khác, nếu chúng ta chọn ngẫu nhiên một tự nhiên${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf{NPI}$$natural$ $\mathsf {NP}$$\mathsf {P}$$\mathsf {NPC}$$\mathsf {NPI}$$\mathsf {NP}$- trong số những người được biết đến, chúng tôi có rất ít cơ hội để chọn một ứng cử viên . Có lời giải thích nào cho hiện tượng này không?$\mathsf {NPI}$

Tôi có thể nghĩ ra 3 lời giải thích có thể, nhiều hơn về khía cạnh triết học:

1. Lý do có một phần nhỏ các ứng cử viên tự nhiên là vì cuối cùng sẽ trở nên trống rỗng. Tôi biết, điều này ngụ ý , vì vậy rất khó xảy ra. Tuy nhiên, người ta vẫn có thể lập luận (mặc dù tôi không phải là một trong số họ) rằng sự hiếm gặp của các vấn đề tự nhiên là một quan sát thực nghiệm có vẻ thực sự hỗ trợ , ngược lại cho hầu hết các quan sát khác.$\mathsf {NPI}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$

2. Độ nhỏ của "tự nhiên- " đại diện cho một loại chuyển tiếp pha sắc nét giữa các vấn đề dễ và khó. Rõ ràng, các vấn đề thuật toán tự nhiên, có ý nghĩa hành xử theo cách chúng có xu hướng dễ hoặc khó, quá trình chuyển đổi hẹp (nhưng vẫn tồn tại).$\mathsf {NPI}$

3. Đối số trong 2 có thể được đưa đến mức cực đoan: cuối cùng tất cả các vấn đề trong "tự nhiên- " sẽ được đưa vào , nhưng , vì vậy . Điều này có nghĩa là tất cả các vấn đề còn lại trong$\mathsf {NPI}$$\mathsf {P} \cup \mathsf {NPC}$${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}\neq \emptyset$$\mathsf {NPI}$là "không tự nhiên" (giả định, không có ý nghĩa thực tế). Giải thích về điều này có thể là các vấn đề tự nhiên là dễ hoặc khó; quá trình chuyển đổi chỉ là một cấu trúc logic, không có ý nghĩa "vật lý". Điều này phần nào gợi nhớ đến trường hợp các số vô tỷ, hoàn toàn hợp lý, nhưng không phát sinh như giá trị đo của bất kỳ đại lượng vật lý nào. Như vậy, chúng không đến từ thực tế vật lý, chúng đúng hơn là "đóng cửa logic" của thực tế đó.

Giải thích nào bạn thích nhất, hoặc bạn có thể đề xuất một giải thích khác?

Như những người khác đã chỉ ra, nó gây tranh cãi đến mức nào mà điều bạn đang cố gắng giải thích thậm chí là đúng. Người ta có thể lập luận rằng, trong thập niên 60 và 70, các nhà khoa học máy tính lý thuyết chỉ quan tâm nhiều hơn đến các loại vấn đề hóa ra ở P hoặc NP khác. Ngày nay, do sự gia tăng của mật mã lý thuyết phức tạp, điện toán lượng tử, mạng tinh thể, v.v .--- cũng như thực tế đơn giản là tính hoàn thiện NP đã trở nên dễ hiểu --- chúng ta ngày càng quan tâm hơn các loại vấn đề hóa ra là trung gian NP.

Tuy nhiên, người ta có thể hỏi: đến mức mà điều đó là sự thật --- nghĩa là, đến mức rất nhiều vấn đề tìm kiếm và tối ưu hóa tự nhiên "chộp lấy" để trở thành NP hoàn chỉnh hoặc khác trong P --- đến mức đó , tại sao là nó có đúng không? Ở đây, tôi nghĩ rằng bạn có thể có được nhiều trực giác bằng cách xem xét một hiện tượng trước đó từ khả năng tính toán: rất nhiều mô hình tự nhiên của tính toán "snap" để trở thành Turing hoàn chỉnh. Trong trường hợp đó, tôi muốn nói lời giải thích là, một khi bạn có một vài thành phần cơ bản --- bộ nhớ đọc / ghi, vòng lặp, điều kiện, v.v .--- thật khó để tránhcó thể mô phỏng máy Turing và do đó hoàn thành Turing. Theo cùng một cách, một khi vấn đề tìm kiếm hoặc tối ưu hóa của bạn có một vài thành phần cơ bản --- quan trọng nhất là khả năng xây dựng "tiện ích" bắt chước các cổng logic như AND, OR và KHÔNG --- thật khó để tránh để mã hóa SAT và do đó được hoàn thành NP.

Theo cách tôi nghĩ về nó, các vấn đề như SAT tạo ra một "lực hấp dẫn" mạnh mẽ đối với tất cả các vấn đề tính toán khác trong vùng lân cận của chúng, khiến chúng muốn "bắt kịp" để trở thành NP hoàn chỉnh. Vì vậy, thông thường nó thậm chí không yêu cầu giải thích đặc biệt khi một vấn đề khác không chịu khuất phục! Điều nổi bật hơn, và cần giải thích nhiều hơn, là khi một vấn đề NP cứng (rõ ràng) có một số tính chất cho phép nó chống lại lực hấp dẫn của SAT. Sau đó chúng tôi muốn biết: tài sản đó là gì? Tại sao bạn không thể chơi thủ thuật NP-đầy đủ thông thường cho vấn đề này, về việc xây dựng các tiện ích mã hóa cổng logic Boolean? Tôi đã tạo một danh sách một số câu trả lời phổ biến cho câu hỏi đó trong câu trả lời CS.SE gần đây, nhưng (như một nhà bình luận khác đã chỉ ra) có những câu trả lời có thể khác mà tôi đã bỏ lỡ.

Nhiều vấn đề tự nhiên có thể được thể hiện dưới dạng các vấn đề thỏa mãn ràng buộc và có các định lý phân đôi cho CSP.

Chỉ là một trò đùa: sau khi nghĩ về "lực hấp dẫn SAT" trong câu trả lời hay của Scott Aaronson, một ẩn dụ khác xuất hiện trong đầu tôi: bánh sandwich 3-SAT 2-SAT !

... nhưng tôi không biết liệu bánh sandwich có thể chứa đầy các thành phần tự nhiên hay không (tuy nhiên tôi thấy rằng nó có thể chứa đầy một số -SAT sốt [1] nếu giả thuyết thời gian theo hàm mũ là đúng) :-D$(2 + \frac{(\log n)^k}{n^2})$

Một kết quả trong [1] là nó không thể được lấp đầy với .$(2+1/n^{2−\epsilon}),0<\epsilon<2$

[1] Yunlei Zhao, Xiaotie Đặng, CH Lee, Hong Zhu, -SAT và các thuộc tính của nó$(2+f(n))$ , Toán học ứng dụng rời rạc, Tập 136, Số 1, 30 tháng 1 năm 2004, Trang 3-11, ISSN 0166 -218X.

Chúng tôi không thể loại trừ khả năng có nhiều vấn đề liên quan đến N P tự nhiên . Sự khan hiếm rõ ràng là do thiếu kỹ thuật và các công cụ cần thiết cần thiết để chứng minh N P trạng -intermediate theo một số giả thuyết hợp lý phức tạp (Arora và Barak lưu ý rằng chúng tôi không thể chứng minh sự tồn tại P trạng -intermediate của bất kỳ tự nhiên N P vấn đề thậm chí giả sử P ≠ N P ).$NP$$NP$$NP$$NP$$P \ne NP$

Dường như lũ lụt của các vấn đề inter liền tự nhiên đang mở. Jonsson, Lagerkvist và Nordh đã mở rộng kỹ thuật đường chéo của Ladner, được gọi là lỗ hổng trong các vấn đề , và áp dụng nó cho các vấn đề thỏa mãn ràng buộc. Họ đã nhận được một CSP là ứng cử viên cho tình trạng N P- Inter Ngay lập tức. Họ đã chứng minh rằng vấn đề bắt cóc có mệnh đề N có các mảnh vỡ $NP$$NP$$NP$

Ngoài ra, Grohe chứng minh sự tồn tại của vấn đề CSP -intermediate giả định rằng F P T ≠ W [ 1 ] . Ông đã thu được những vấn đề như vậy bằng cách hạn chế chiều rộng cây của các đồ thị nguyên thủy tương ứng.$NP$$FPT \ne W[1]$

Tài liệu tham khảo :

1- M. Grohe. Sự phức tạp của vấn đề đồng hình và các vấn đề thỏa mãn ràng buộc nhìn từ phía bên kia. Tạp chí ACM, 54 (1), điều 1, 2007

2- Peter Jonsson, Victor Lagerkvist và Gustav Nordh. Thổi lỗ hổng trong các khía cạnh khác nhau của các vấn đề tính toán, với các ứng dụng để hạn chế sự hài lòng. Trong Kỷ yếu Hội thảo quốc tế lần thứ 19 về Nguyên tắc và Thực hành Lập trình ràng buộc (CP-2013). 2013.

Dưới đây là một câu chuyện cổ tích về cấu trúc Goldilocks của các vấn đề trung gian NP. (Cảnh báo: câu chuyện này có thể là một ngụy biện hữu ích để tạo ra và kiểm tra các giả thuyết tiềm năng, nhưng không có nghĩa là nghiêm ngặt về mặt khoa học. Nó dựa vào một phần Giả thuyết Thời gian theo cấp số nhân, một phép thuật phức tạp Kolmogorov, một số phần được mượn từ lý thuyết SAT giải quyết, và trichotomy heuristic của Terence Tao cho các vấn đề. Tiêu thụ rủi ro riêng, như với tất cả các pha chế vẫy tay về toán học.)

Nếu gần như tất cả các trường hợp trong một vấn đề trong NP có cấu trúc cao, thì vấn đề thực sự nằm ở P. Các trường hợp đó gần như chứa rất nhiều sự dư thừa và thuật toán thời gian đa thức cho vấn đề là một cách để loại bỏ sự dư thừa. Thậm chí có thể hình dung rằng mọi vấn đề trong P đều có thể đạt được bằng cách lấy một số vấn đề trong EXP và thêm một số dự phòng có cấu trúc, thông qua một số hình thức đệm (không nhất thiết phải là loại thông thường). Nếu điều này là như vậy, thì thuật toán đa thức thời gian có thể được coi là một cách hiệu quả để hoàn tác phần đệm đó.

Nếu có đủ các trường hợp không được cấu trúc, tạo thành một "lõi cứng", thì vấn đề là NP-đầy đủ.

Tuy nhiên, nếu "lõi độ cứng" này quá thưa thớt, thì nó chỉ có chỗ để đại diện cho một số SAT, vì vậy vấn đề nằm ở P hoặc NP-trung gian. (Lập luận này là bản chất của định lý Ladner). Để sử dụng sự tương tự của Scott, "cốt lõi của độ cứng" tạo ra lực hấp dẫn cho vấn đề, hướng tới sự hoàn thiện NP. Các trường hợp trong "lõi của độ cứng" không chứa nhiều dư thừa và thuật toán thực tế duy nhất hoạt động cho tất cả các trường hợp đó là tìm kiếm vũ lực (tất nhiên, nếu chỉ có rất nhiều, thì công cụ tra cứu bảng cũng hoạt động).

Từ quan điểm này, các vấn đề trung gian NP nên rất hiếm trong thực tế, vì chúng đòi hỏi sự cân bằng Goldilocks tốt giữa các trường hợp có cấu trúc và không cấu trúc. Các thực thể cần có đủ dự phòng để chúng có thể tuân theo một phần thuật toán, nhưng cần có đủ độ cứng mà vấn đề không nằm ở P.

Người ta có thể kể một câu chuyện thậm chí đơn giản hơn (và thú vị, nhưng cũng có khả năng gây hiểu lầm nhiều hơn) dựa trên các câu đố. Chỉ với một vài ràng buộc, người ta có thể buộc phải thực hiện rất nhiều tìm kiếm, ví dụ NxN Sudoku là NP-Complete. Bây giờ hãy xem xét việc được yêu cầu giải nhiều câu đố nhỏ như một ví dụ, trong một lần (ví dụ: nhiều Sudokus 9x9). Thời gian thực hiện sẽ gần như tuyến tính về số lượng câu đố trong mỗi trường hợp và vấn đề này là ở P. Đối với các vấn đề trung gian, người ta có thể nghĩ rằng mỗi trường hợp là một số lượng lớn Sudokus (nhưng không quá lớn) (nhưng không quá lớn) lưới. Lý do chúng tôi không quan sát nhiều vấn đề như vậy là vì chúng sẽ buồn tẻ để đặt ra và giải quyết!

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$

$n$$\geq \log n$$\mathsf{NPI}$ $\mathsf{NP}$$x$$Q$$x$$Q$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPC}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$