Biểu thức chiều rộng Clique với độ sâu logarit

Khi chúng ta được cung cấp một phân tách cây của đồ thị với chiều rộng w , có một số cách mà chúng ta có thể làm cho nó "đẹp". Cụ thể, người ta biết rằng có thể biến nó thành một phân rã cây trong đó cây là nhị phân và chiều cao của nó là O ( log n ) . Điều này có thể đạt được trong khi vẫn giữ chiều rộng của sự phân hủy tối đa 3 w . (Xem ví dụ: "Các thuật toán song song với tốc độ tối ưu cho treewidth bị chặn", bởi Bodlaender và Hagerup). Vì vậy, độ sâu logarit là một đặc tính của sự phân hủy cây mà chúng ta có thể nhận được gần như miễn phí.$G$$w$$O(\log n)$$3w$

Câu hỏi của tôi là nếu có tồn tại một kết quả tương tự cho clique-width, hoặc có lẽ là một ví dụ ngược lại. Nói cách khác, được đưa ra biểu thức độ rộng clique cho sử dụng nhãn k , có tồn tại biểu thức chiều rộng clique của chiều cao O ( log n ) cho G , sử dụng tối đa nhãn f ( k ) không? Ở đây, chiều cao được định nghĩa một cách tự nhiên là chiều cao của cây phân tích của biểu thức chiều rộng clique.$G$$k$$O(\log n)$$G$$f(k)$

Nếu không biết một câu lệnh tương tự như trên, thì có một ví dụ về đồ thị -vertex G có độ rộng k nhỏ , sao cho cách duy nhất để tạo G với f ( $n$$G$$k$$G$nhãn ) là sử dụng biểu thức có kích thước lớn chiều sâu?$f(k)$

Sau một thời gian tôi đã tìm thấy một câu trả lời trong tài liệu, vì vậy tôi sẽ đăng nó ở đây trong trường hợp nó hữu ích cho người khác.

Trên thực tế có thể cân bằng lại các biểu thức chiều rộng clique để chúng có độ sâu logarit. Kết quả được đưa ra trong bài báo "Các hoạt động biểu đồ mô tả các biểu thức đồ thị cân bằng và chiều rộng xếp hạng" của Courcelle và Kanté, WG '08. Tôi trích dẫn Định lý 4.4 từ bài báo:

"Mỗi đồ thị của clique-width hoặc NLC-width là giá trị của biểu thức 3 chiều rộng clique-width của clique-width hoặc NLC-width tối đa k × 2 k + $k$$k \times 2^{k+1}$ "

Điều đáng chú ý ở đây là số lượng nhãn sẽ tăng theo cấp số nhân trong việc cân bằng. Dường như đối với clique-width hiện không có kết quả tốt hơn. Bài báo tương tự cho kết quả tương tự chỉ với một cú đánh liên tục cho băng thông xếp hạng, nhưng điều này không giúp ích gì, vì sự khác biệt giữa độ rộng clique và độ rộng xếp hạng có thể theo cấp số nhân trong trường hợp xấu nhất.