Máy Turing nhỏ nhất mà không biết có dừng lại hay không?

31

Tôi biết rằng vấn đề tạm dừng nói chung là không thể giải quyết được nhưng có một số máy Turing rõ ràng đã dừng lại và một số rõ ràng là không. Trong số tất cả các máy turing có thể là cái nhỏ nhất mà không ai có bằng chứng liệu nó có dừng lại hay không?

halting-problem

— Aaron
nguồn

10

Câu trả lời phụ thuộc vào chi tiết cụ thể của mô hình máy (số ký hiệu, v.v.). Theo bài viết trên Wikipedia về Busy Beaver, có một máy 5 sate 2 ký hiệu mà không biết liệu nó có dừng lại hay không.

— Kaveh

1

Lưu ý rằng câu hỏi của Aaron không phải là về tính quyết định của một ngôn ngữ nhất định, mà thực sự là sự tồn tại của một bằng chứng cho thấy một máy Turing cụ thể tạm dừng. Đối với bất kỳ máy Turing nào, "sự cố tạm dừng" của nó (cho dù chính máy này tạm dừng ở đầu vào trống) là "có thể quyết định": đó là Có hoặc Không, và cả hai ngôn ngữ {Có} và {Không} đều có thể quyết định được. Điều này rất khác với việc người ta có bằng chứng cho thấy máy dừng lại hay không. Aaron, nếu bạn có nghĩa là "

nhỏ nhất sao cho ngôn ngữ

dừng trên

là không thể giải quyết được", bạn có thể vui lòng chỉnh sửa câu hỏi của mình không?

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— Michaël Cadilhac

1

@ MichaëlCadilhac Vấn đề tạm dừng thường được hiểu là "Cho một máy

và một đầu vào

,

dừng lại cho đầu vào

không?" không phải "Cho một máy

,

dừng lại cho tất cả các đầu vào không?"

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— David Richerby

@DavidR Richby: Đối với tôi, vấn đề tạm dừng là ngôn ngữ của máy (mã) tạm dừng trên đầu vào trống. Nếu nó không phải là ý nghĩa dự định ở đây, tôi nghĩ nó nên được chỉ định để làm tiêu tan sự nhầm lẫn có thể (ok, của tôi).

— Michaël Cadilhac

nhiều cách nghiên cứu vấn đề là hợp lệ & liên quan đến nhau và thực sự có một sự tinh tế trong việc phân biệt chúng mà người hỏi không làm được.

— vzn

38

Các máy Turing lớn nhất mà vấn đề tạm dừng có thể quyết định là:

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

$TM(2,4)$ $TM(3,3)$

$TM(4,2)$

Nhận xét của Kaveh và câu trả lời của Mohammad là chính xác, vì vậy đối với định nghĩa chính thức về máy Turing tiêu chuẩn / không chuẩn được sử dụng trong loại kết quả này, hãy xem Turlough Neary và Damien Woods hoạt động trên các máy Turing phổ dụng nhỏ, ví dụ: Độ phức tạp của máy Turing phổ dụng nhỏ: một cuộc khảo sát (Quy tắc 110 TM là phổ quát yếu).

— Marzio De Biasi
nguồn

2

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

2

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

32

Tôi muốn nói thêm rằng có một số Máy Turing mà vấn đề Ngừng độc lập với ZFC.

Ví dụ, hãy sử dụng máy Turing để tìm bằng chứng mâu thuẫn trong ZFC. Sau đó, nếu ZFC phù hợp, nó sẽ không dừng lại, nhưng bạn không thể chứng minh điều đó trong ZFC (vì định lý không hoàn chỉnh thứ hai của Gôdel).

Vì vậy, nó không chỉ là vấn đề chưa tìm thấy bằng chứng, đôi khi bằng chứng thậm chí không tồn tại.

— Denis
nguồn

ZFC? ZFC có nghĩa là gì? Tôi chỉ không thể tìm ra nó từ bối cảnh.

— Acapulco

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Sasho Nikolov

Lol! được. Tôi đã nhận được lmgtfy'ed. Touchè. Không nghĩ rằng đó sẽ là tên viết tắt sẽ liên quan ngay lập tức và duy nhất đến chủ đề này. Trong mọi trường hợp, tôi không nghĩ sẽ đau lòng khi thêm một phép lịch sự "ZFC (Zermelo Muff Fraenkel set theory)" làm rõ lần đầu tiên được đề cập, cũng để tránh sự mơ hồ trong trường hợp có? :)

— Acapulco

16

@Acapulco, vui lòng xem tour và trung tâm trợ giúp . Bất kỳ nhà khoa học máy tính lý thuyết nào cũng sẽ biết ZFC là viết tắt của từ gì nên thực sự không cần phải làm rõ.

— Kaveh

1

2

$2$

5

Không ai có bằng chứng cho dù máy Universal Turing có dừng lại hay không. Trong thực tế, bằng chứng như vậy là không thể do kết quả của sự không ổn định của vấn đề Dừng. Các nhỏ nhất là 2 trạng thái 3 biểu tượng Turing phổ máy được tìm thấy bởi Alex Smith mà ông giành được một giải thưởng $ 25,000.

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

4

Tuy nhiên, lưu ý rằng, theo trang Wikipedia trích dẫn, bằng chứng về tính phổ quát đang bị tranh cãi. Ngoài ra, đây không phải là mô hình tiêu chuẩn của máy Turing: máy được cho là phổ quát không có trạng thái dừng nên không thể mô phỏng bất kỳ máy nào dừng lại, ít nhất là theo nghĩa tiêu chuẩn của máy Turing phổ dụng.

— David Richerby

2

@DavidR Richby: Tôi nghĩ rằng tính đa dạng yếu của quy tắc 110 khá được chấp nhận: nó yêu cầu hai từ khác nhau được lặp lại ở bên trái và bên phải của đầu vào và điều kiện tạm dừng là tạo ra một tàu lượn đặc biệt (được tạo ra khi và chỉ khi các máy mô phỏng dừng lại). Xem "Quốc tế trong máy tự động tế bào cơ bản" của Matthew Cook.

— Marzio De Biasi

-4

một câu hỏi chung chung không chính xác nhưng có thể được nghiên cứu theo nhiều cách kỹ thuật cụ thể. có nhiều máy "nhỏ" được đo bằng các trạng thái / ký hiệu trong đó không thể dừng được nhưng không có máy "nhỏ nhất" trừ khi người ta đưa ra một số liệu chính xác / định lượng về độ phức tạp của TM có tính đến cả trạng thái và ký hiệu (rõ ràng không ai đề xuất một cho đến nay).

$x \times y$ $x$ $y$

$x,y$

— vzn
nguồn

2

Không cần thiết phải thiết lập một số liệu có tính đến các biểu tượng và trạng thái. Khi có hai biểu tượng trên băng, rõ ràng vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được đối với hầu hết tất cả các số trạng thái - như tôi nhớ, có thể viết một TM phổ quát chỉ với năm trạng thái. Nếu chúng ta biết ranh giới chính xác của tính quyết định, tôi chắc chắn sẽ dễ dàng mô tả ranh giới đó theo các cặp (# bang, # biểu tượng).

— David Richerby

nghiên cứu hải ly bận rộn thực sự liên quan đến việc tìm kiếm bằng chứng cho việc liệu các TM có dừng các thiết lập ban đầu với # trạng thái, ký hiệu nhỏ hay không; có trường hợp giải quyết. nếu muốn "nhỏ nhất" bất cứ thứ gì, người ta phải tạo ra một số liệu chính xác đo "nhỏ". pt ở trên là một số liệu chỉ liên quan đến các trạng thái hoặc ký hiệu đơn thuần có thể được coi là sai lệch cho đến khi thể hiện ranh giới đã biết bao gồm cả (và các máy không được biết là phổ quát). ranh giới không thể thiếu trong nghiên cứu này không "dễ dàng" để chỉ định về bất cứ điều gì cả, đó là bản chất cơ bản của nó ....

— vzn

1

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— David Richerby

cho đến nay không ai đề xuất bất kỳ số liệu nào. không có ranh giới quan trọng nào trong khu vực này là "tầm thường để mô tả" & người ta sẽ mong đợi rằng kịch bản sẽ không thể xảy ra thông qua Rices thm. điều này dường như cho thấy sự thiếu quen thuộc với nghiên cứu và giới thiệu được trích dẫn quan tâm đến khả năng phân giải của đầu vào cho các máy nhỏ hơn so với những gì được biết là phổ quát (và được phỏng đoán là không phổ quát). ý kiến của bạn dường như tập trung vào các ranh giới phổ biến so với các máy không đa năng, không giống như các ranh giới có thể quyết định của hải ly bận rộn đang được khám phá, ví dụ như trong các giới thiệu được trích dẫn (cả trên & Marzio).

— vzn

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$