Một vấn đề đồ thị tự nhiên có thể khó khăn phổ quát?

Có vấn đề đồ thị tự nhiên , vẫn còn ngay cả khi nó bị giới hạn trong bất kỳ lớp biểu đồ có thể nhận biết theo thời gian đa thức nào không? Để tránh các trường hợp suy biến, chúng ta chỉ xem xét các lớp biểu đồ dày đặc , trong đó số lượng đồ thị không đẳng hình -vertex tăng theo cấp số nhân với .N $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\leq n$$n$

Ghi chú:

(1) Cả câu trả lời "có" hoặc "không" sẽ khá thú vị. Nếu câu trả lời là có, thì chúng ta sẽ có một thuộc tính đồ thị hoàn chỉnh tự nhiên có thể được gọi là cứng, vì nó bảo toàn độ cứng ngay cả khi bị giới hạn trong bất kỳ lớp đồ thị hợp lý nào. Nếu câu trả lời là không, điều đó có nghĩa là mọi thuộc tính đồ thị tự nhiên có thể được thực hiện dễ dàng trên một số lớp biểu đồ không cần thiết.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

(2) Điều quan trọng là chỉ xem xét các lớp biểu đồ có thể nhận biết theo thời gian đa thức, để loại trừ rằng độ cứng của thuộc tính chỉ đơn giản được chuyển sang lớp. Ví dụ, 3-MÀU SẮC trở nên tầm thường khi bị giới hạn trong các biểu đồ 3 màu.

Định nghĩa của "tự nhiên" là một chút mờ nhạt, nhưng có một lý do tầm thường câu trả lời ở đây có thể là "không". Giả sử ngược lại rằng có một vấn đề như vậy, . Nếu P chỉ hoạt động trên thành phần đầu tiên của biểu đồ được cung cấp, thì P dễ dàng đối với lớp biểu đồ trong đó thành phần đầu tiên là một thể hiện của P và thành phần thứ hai mã hóa chứng chỉ P giữ trên thành phần đầu tiên. Hơn nữa, lớp biểu đồ này có thể nhận dạng được nhiều thời gian. Thật vậy, điều tương tự cũng đúng nếu chúng ta có thể chỉ định một phần của biểu đồ là "đây là chứng chỉ và không phải là một phần của thành phần vấn đề", theo nghĩa là chúng ta có thể lén chứng nhận này mà không ảnh hưởng đến câu trả lời đúng.$P$$P$$P$$P$$P$

Hầu hết các vấn đề "tự nhiên", theo như tôi có thể nói, cho phép chỉ định một phần của biểu đồ như vậy. Đây là vài ví dụ

• Max Clique: chỉ cần đảm bảo rằng phần chứng chỉ của biểu đồ không có một cụm lớn (ví dụ: mã hóa nó bằng cách sử dụng khớp)
• Đường dẫn Hamilton: nút đuôi được thay thế bằng biểu đồ chứng chỉ có đường dẫn Hamilton dễ tìm của chính nó
• Mạch Hamilton: giống như đường dẫn Hamilton ngoại trừ một số đỉnh được chỉ định được thay thế bằng biểu đồ chứng chỉ có chứa chu trình Hamilton
• Max Cut: điều này không ảnh hưởng đến giải pháp miễn là không có cạnh nào với phần còn lại của biểu đồ, vì vậy chúng tôi chỉ đảm bảo rằng phần cắt tối đa ở đây rất dễ tìm thấy (ví dụ: chúng tôi mã hóa bằng cách sử dụng khớp)
• Vỏ Vertex: chứng chỉ được mã hóa lại bằng cách khớp

Chúng tôi đảm bảo rằng phần chứng chỉ của biểu đồ được chỉ định như vậy, để không bị mất phần còn lại của biểu đồ (mặc dù việc chỉ định chúng thông qua cấu trúc biểu đồ có thể đủ dễ dàng cho hầu hết các vấn đề "tự nhiên").

$P=NP$