Độ phức tạp của bài toán quyết định đặt độc lập so sánh

Hãy xem xét vấn đề sau:

Đầu vào: (G1, G2) trong đó G1 và G2 là đồ thị vô hướng

Câu hỏi: Kích thước của bộ G1 độc lập tối đa ít nhất có lớn bằng kích thước của bộ G2 độc lập tối đa không?

Đây có vẻ là một câu hỏi khá tự nhiên để hỏi, nhưng tôi đã không thể tìm thấy một lớp phức tạp mà vấn đề này đã hoàn thành. Có ai biết như vậy không? Là một điểm khởi đầu, có thể dễ dàng nhận thấy rằng vấn đề là NP-hard và được chứa trong P với quyền truy cập vào một orory NP với nhật ký nhiều truy vấn.

Vấn đề này thực sự đã hoàn tất đối với lớp máy Turing có thời gian đa thức có quyền truy cập vào một nhà tiên tri NP với nhật ký nhiều truy vấn (còn được gọi là ). Kết quả xuất hiện trong một bài báo FST TCS năm 2000 của Spakowski và Vogel có tiêu đề " Θ p 2 -Completility: Phương pháp cổ điển cho kết quả mới." Các bằng chứng được trình bày ở đó và một bằng chứng cho thấy tôi đến một cách độc lập cũng dựa trên Θ p 2 tiêu chí -completeness của Wagner ( "Lớp giáp Query" SIAM Journal trên Computing lưu trữ lượng 19 Vấn đề 5, tháng 10 năm 1990).$\Theta_2^p$$\Theta_2^p$$\Theta_2^p$

Có vẻ như, vấn đề của bạn là Turing-Complete cho lớp . Như đã đề cập trong câu hỏi, bạn đã biết rằng nó rơi vào lớp này. Để hiển thị tính đầy đủ của Turing, người ta có thể nhận thấy rằng việc lấy một bộ kích thước l độc lập cho G 1 cho phép chúng ta xác định (sử dụng tác vụ như một lời tiên tri) cho dù bộ độc lập tối đa trong G 2 là ≤ l . Lặp lại điều này với tìm kiếm nhị phân cho 1 ≤ l ≤ n , chúng ta có thể xác định e x a ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$$l$$G_1$$G_2$$\leq l$$1\leq l \leq n$kích thước t của tập độc lập tối đa trong G 2 .$exact$$G_2$

Áp dụng phần trên cho biểu đồ bổ sung để xác định kích thước chính xác của cụm tối đa trong , thay vì tập độc lập. Khi đã xác định kích thước của cụm cực đại, chúng ta có thể quyết định xem nó có chia hết cho một số k cho trước hay không . Sau đó, chúng ta có thể gọi kết quả để quyết định xem kích thước phân thân tối đa của đồ thị có chia hết cho một số đã cho hay không cho P N P [ O ( log n ] ) ] (xem Krentel, "Độ phức tạp của các vấn đề tối ưu hóa," J. Khoa học máy tính và hệ thống, 36 (1988/3), tr. 495050509, Định lý 3.5)$G_2$$k$${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$

Mặc dù kết quả được tham chiếu của Krentel chứng minh tính hoàn chỉnh của một vấn đề trong , nhưng mức giảm trên chỉ cho thấy tính đầy đủ của Turing, vì trong tìm kiếm nhị phân, chúng ta phải gọi một số lời tiên tri ( log n ) lần.${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$$\log n$

Vấn đề của bạn cũng rất nhiều - một khó khăn cho những tác động giữa các trường hợp NP.

Giảm phần bên phải của hàm ý thành tập độc lập theo bất kỳ cách thuận tiện nào và giảm phần bên trái của hàm ý thành tập độc lập theo cách đảm bảo đồ thị không thể có tập độc lập lớn hơn kích thước đích. $\:$(Ví dụ: giảm xuống CNF-SAT và sau đó áp dụng mức giảm này mặc dù có một ví dụ CNF-SAT chung thay vì nhất thiết phải là một ví dụ 3-SAT.)$\:$Thêm một số đỉnh bị cô lập bằng với chênh lệch giữa các kích thước đích với kích thước mục tiêu của
bất kỳ trường hợp nào nhỏ hơn và tăng kích thước đích của cá thể đó bằng
cùng một số.$\:$ Điều đó rõ ràng đưa ra một ví dụ tương đương và làm cho kích thước mục tiêu kết quả bằng nhau. $\:$Nếu kích thước đích bằng 0 thì trả về thể hiện trống của vấn đề của bạn,
nếu không , hãy thêm [kích thước đích trừ đi một] các đỉnh bị cô lập vào biểu đồ tương ứng với thể
hiện ở phía bên phải của hàm ý và kết nối từng đỉnh với tất cả các đỉnh đó đã ở đó
trước câu này và trả về với G1 bằng đồ thị đó và G2 bằng với đồ thị khác.

(Ngoài ra, các trường hợp vấn đề của bạn có thể bị
giảm đáng kể thành một liên kết hàm ý giữa các trường hợp NP.)