Độ phức tạp của việc tìm số lượng tối đa của các bộ tách rời cặp khôn ngoan

Giả sử rằng tôi có bộ với các phần tử được lấy từ r có thể. Mỗi bộ có kích thước n ( n < r ), trong đó các bộ có thể chồng lên nhau. Tôi muốn xác định xem hai vấn đề sau có hoàn chỉnh NP hay không:$P$$r$$n$$n<r$

Bài A. Có các tập riêng biệt ( 1 ≤ M ≤ P ) trong các tập P (nghĩa là giao điểm cặp khôn ngoan của chúng là trống)?$M$$1 \le M \le P$$P$

Bài toán B. Bây giờ các phần tử ( k < n ) có thể được chọn từ mỗi bộ. Có L ( 1 ≤ L ≤ P ) khác biệt bộ kích thước k mỗi trong P bộ? Lưu ý rằng chỉ có một bộ phần tử k có thể được lấy từ mỗi bộ n phần tử.$k$$k<n$$L$$1 \le L \le P$$k$$P$$k$$n$

Ghi chú : Tôi chủ yếu quan tâm đến trường hợp là cố định ( n ≥ 2 , k ≥ 2 ).$k,n$$n \ge 2, k \ge 2$

Tôi nghĩ rằng Vấn đề A có thể được coi là một vấn đề khớp siêu đồ thị -uniform r -partite. Nghĩa là, chúng ta có các phần tử của r là các đỉnh và mỗi siêu cạnh chứa một tập hợp con gồm n đỉnh của đồ thị.$n$$r$$r$$n$

1. Trong bài toán kết hợp siêu đồ thị -uniform r -partite NP-đầy đủ?$n$$r$

2. Tôi nghĩ rằng Bài toán B tương đương với việc tìm ra số siêu cạnh khác biệt của cardinality được lấy từ các siêu cạnh của cardinality n . Đây có phải là phiên bản giới hạn (theo nghĩa là mỗi bộ k -cardinality được lấy từ một bộ n phần tử được chọn trước thay vì được lấy tùy ý từ các phần tử r ) của Bài toán NP hoàn chỉnh?$k$$n$$k$$n$$r$

Ví dụ ( ):$n=3,r=5, P=3$

, B = { 2 , 3 , 4 } , C = { 3 , 4 , 5 $A=\{1,2,3\}$$B=\{2,3,4\}$$C=\{3,4,5\}$

Nếu , chỉ có M = 1 một tập riêng biệt, đó là A hoặc B hoặc C , vì mỗi cặp ( A , B ) , ( A , C ) , ( B , C ) không có ngã tư trống.$k=n=3$$M=1$$A$$B$$C$$(A,B)$$(A,C)$$(B,C)$

Nếu , chúng ta có L = 2 bộ riêng biệt: một giải pháp là { 1 , 2 } , { 3 , 4 } (tập con của A và B ).$k=2$$L=2$$\{1,2\}$$\{3,4\}$$A$$B$

Đây là trường hợp đặc biệt của Bài toán đóng gói tối đa và cả bài toán A và B đều là NP-Complete . Lưu ý rằng vấn đề chỉ đơn giản là một vấn đề phù hợp nếu và cũng dễ dàng nếu n = 1 . Vì vậy, tôi sẽ giả n ≥ 3 .$n=2$$n=1$$n \ge 3$

Thay vì đặt câu hỏi,

Có tập hợp khác nhau trong số các bộ P ?$M$$P$

Hãy đặt câu hỏi sau đây

Số lượng bộ tách rời tối đa chúng ta có thể nhận được từ bộ bao nhiêu?$P$

Rõ ràng là nếu câu hỏi thứ hai có thể trả lời được trong thời gian đa thức, thì đó là câu hỏi đầu tiên vì tất cả những gì chúng ta phải làm là so sánh giá trị tối đa này với và xuất ra CÓ nếu M nhỏ hơn hoặc bằng mức tối đa này và KHÔNG .$M$$M$

Ngoài ra, nếu câu hỏi đầu tiên có thể trả lời được trong thời gian đa thức, thì câu hỏi thứ hai cũng vậy vì chúng ta có thể sử dụng tìm kiếm nhị phân trên và có được câu trả lời cho câu hỏi thứ hai và chỉ thêm một yếu tố O ( log M$M$$O(\log{M})$

Vì vậy, chúng tôi có thể kết luận rằng cả hai câu hỏi là tương đương. tức là Câu hỏi 1 là thời gian đa hình có thể giải được khi và chỉ khi Câu hỏi 2 quá.

Rõ ràng là các vấn đề nằm ở NP vì chúng ta có thể dễ dàng xác minh rằng các bộ ra không khớp nhau.$M$

Vì vậy, câu hỏi bây giờ là làm thế nào để chúng ta giảm một vấn đề NP-Hard đã biết đến vấn đề này? Để làm điều này, chúng tôi giảm từ các vấn đề đóng gói tối đa . Tôi chỉ đơn giản là tập trung vào vấn đề A vì vấn đề B có thể dễ dàng được chứng minh là khó bằng cách đặt $k=n-1$

Hãy xem xét một ví dụ độc đoán của tập đóng gói vấn đề tối đa . Lưu ý rằng sự khác biệt duy nhất giữa vấn đề A và vấn đề đóng gói tối đa ban đầu là trong vấn đề A, kích thước của các bộ phải bằng nhau. Hãy t là cardinality tối đa trong tất cả các bộ trong T . Nếu mọi tập hợp trong T có cùng số lượng thẻ, chúng ta đã hoàn thành và vấn đề bao trùm là vấn đề chính xác A. Bây giờ giả sử rằng đối với một số tập hợp S i ∈ T , chúng ta có$T$$t$$T$$T$$S_i \in T$ . Chúng ta chỉ cần thêm các phần tử ( t - | S i | ) vào$|S_i| < t$$(t-|S_i|)$ mà không phải là các yếu tố của bất kỳ bộ trong T . Chúng tôi lặp lại quá trình này cho đến khi tất cả các bộ S i ∈ T có cùng kích thước. Rõ ràng là việc thêm các phần tử mới theo cách này không làm thay đổi kích thước của số lượng tập hợp rời rạc tối đa.$S_i$$T$$S_i \in T$

Vì vậy, nếu chúng ta có thể giải quyết vấn đề trong thời gian đa thức, chúng ta có thể giải quyết vấn đề đóng gói tối đa trong thời gian đa thức vì tất cả những gì chúng ta phải làm là loại bỏ các phần tử bổ sung mà chúng ta đã thêm và việc này không làm thay đổi kích thước của số lượng tối đa của các tập hợp không giao nhau trong T .$A$$T$

EDIT - Một số thông tin bổ sung về vấn đề B

Giả sử bài toán B có một giải pháp thời gian đa thức, bây giờ hãy xem xét một trường hợp tùy ý của bài toán A với n phần tử trên mỗi tập hợp. Bây giờ chúng ta thêm một yếu tố giả d để mỗi bộ trong T . Bây giờ chúng tôi đặt câu hỏi sau đây.$T$$n$$d$$T$

Số lượng bộ tách rời tối đa chúng ta có thể nhận được bằng cách lấy phần tử từ mỗi bộ là bao nhiêu?$n$

Bây giờ chúng ta biết rằng trong số các tập hợp ở mức tối đa, nhiều nhất một trong số chúng có thể chứa phần tử giả, do đó, nếu câu trả lời chúng ta nhận được là tối đa là , thì số tập tối đa thực tế trong ví dụ T (vấn đề ban đầu của chúng ta A) là M hoặc$M$$T$$M$ , nhưng điều này mang lại xấp xỉ hệ số không đổi cho việc đóng gói tối đa. Và một xấp xỉ như vậy chỉ có thể nếu P = N P . Vì vậy, vấn đề B cũng khó khăn.$(M-1)$$P=NP$