Xấp xỉ tự động hóa đồ thị không tầm thường?

Graph automorphism là một hoán vị của các nút đồ thị mà gây ra một song ánh trên các cạnh bộ $E$ . Chính thức, Nó là một hoán vị $f$ của các nút như vậy $(u,v)\in E$ iff $(f(u),f(v))\in E$

Xác định một cạnh bị vi phạm đối với một số hoán vị là một cạnh được ánh xạ tới không phải là cạnh hoặc một cạnh có tiền đề là không có cạnh.

Đầu vào : Đồ thị không cứng $G(V, E)$

Vấn đề : Tìm một hoán vị (không nhận dạng) để giảm thiểu số lượng các cạnh bị vi phạm.

Sự phức tạp của việc tìm một hoán vị (không xác định) với số cạnh tối thiểu bị vi phạm là gì? Có phải vấn đề khó đối với các đồ thị có độ tối đa giới hạn $k$(theo một số giả định phức tạp) không? Ví dụ, có khó cho đồ thị khối không?

Động lực: Vấn đề là một sự nới lỏng của vấn đề tự động hóa đồ thị (GA). Biểu đồ đầu vào có thể có tính tự động không tầm thường (ví dụ: biểu đồ không cứng). Làm thế nào là khó khăn để tìm một tự động gần đúng (hoán vị tủ quần áo)?

Chỉnh sửa ngày 22 tháng 4

Một đồ thị cứng (không đối xứng) chỉ có tính tự động tầm thường. Một đồ thị không cứng có một số đối xứng (giới hạn) và tôi muốn hiểu sự phức tạp của việc tính gần đúng đối xứng của nó.

$G$$H$$\epsilon$

1. $G$$H$
2. $G$$H$$\epsilon \binom{n}{2}$

Số liệu độ phức tạp là số lượng đầu dò cho ma trận kề và mục tiêu là phân biệt hai trường hợp có xác suất cao bằng cách sử dụng số lượng đầu dò tuyến tính.

Eldar Fischer và Arie Matsliah ( cảm ơn, arnab ) có một bài viết trong SODA 2006 về chính xác vấn đề này. Mặc dù nó không liên quan trực tiếp đến vấn đề của bạn, nhưng nó có thể là một cách để xây dựng vấn đề có thể và thậm chí có thể cung cấp các kỹ thuật hữu ích cho bạn.

Một kết quả của Eugene Luks ("Sự đẳng hình của đồ thị hóa trị giới hạn có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức ") cho thấy rằng đẳng cấu đồ thị (hay tự động hóa) cho đồ thị mức giới hạn là trong thời gian đa thức. Do đó, nếu bạn đang tìm kiếm một số (không có bản sắc, như Jukka đã chỉ ra) gần như tự động hóa cho các đồ thị hình khối không cứng nhắc, thì chúng ta có thể sử dụng thuật toán của Luks và lấy bất kỳ tính tự động không tầm thường nào trong biểu đồ.