Đếm các giải pháp của công thức Monotone-2CNF

Công thức Monotone-2CNF là một công thức CNF trong đó mỗi mệnh đề được cấu tạo bởi chính xác 2 nghĩa đen.

Bây giờ, tôi có một giọng đều đều-2CNF công thức . Đặt là tập hợp các bài tập thỏa mãn củaTôi cũng có một orory có thể cung cấp các thông tin sau:$F$F $S$$F$$O$

1. Cardinality của tập (tức là số lượng giải pháp của ).$S$$F$
2. Cho một biến : $x$
   • Số lượng các giải pháp trong chứa nghĩa đen .$S$$x$
   • Số lượng các giải pháp trong chứa chữ âm .¬ $S$$\lnot x$
3. Cho 2 biến và : x $x_1$$x_2$
   • Số lượng giải pháp trong chứa .x 1 ∧ x $S$$x_1 \land x_2$
   • Số lượng giải pháp trong chứa .x 1 ∧ ¬ x $S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • Số lượng giải pháp trong chứa .¬ x 1 ∧ x $S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • Số lượng giải pháp trong chứa .¬ x 1 ∧ ¬ x $S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

Lưu ý rằng oracle là "giới hạn": nó chỉ hoạt động trên , nó không thể được sử dụng trên một công thức .F F ' ≠ $O$$F$$F' \neq F$

Câu hỏi:

Cho 3 biến , , có thể xác định số lượng giải pháp trong chứa trong thời gian đa thức, sử dụng và thông tin được cung cấp bởi ?x 2 x 3 S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ ¬ x 3 F $x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

Ghi chú:

Bạn có thể thay thế trong câu hỏi bằng bất cứ điều gì khác trong 8 kết hợp có thể có của , , . Vấn đề sẽ vẫn như cũ.x 1 x 2 x $\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

Thực tế thực tế:

Tôi đã đi qua thực tế theo kinh nghiệm sau đây một tuần. Đặt là tập hợp các giải pháp có chứa và để là tập hợp các giải pháp có chứa . Bây giờ, dường như là trường hợp, nếu điều kiện giữ, mối quan hệ này cũng giữ: trong đó là tỷ lệ vàng. Điều kiện dường như là như sau: " ,¬ x 1 ∧ ¬ x 2 S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 ⊂ S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 C | S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$

ϕ=1.618033 ...Cx1x2x3F$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$ , được đề cập trong gần như cùng số lần "$x_3$$F$ .

Để sử dụng thực tế thực nghiệm đó, bạn thực sự muốn biết liệu các số gần đúng có thể cung cấp cho người khác các số gần đúng hay không. Nhưng đối với trường hợp chính xác, tôi nghĩ có thể có một cách đơn giản để cho thấy điều này là khó. Đây là một bản phác thảo.

Đầu tiên lưu ý rằng việc thực hiện các bài tập tương ứng với các tập độc lập trong biểu đồ. Tôi sẽ sử dụng cụm từ "S-dự báo của tôi (G)" để mô tả các chức năng lập bản đồ để số lượng các bộ độc lập tôi với tôi ∩ S = T . Các "phép chiếu k" là các phép chiếu S cho tất cả các tập con S của V với | S | = k .$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

Bằng chứng phác thảo:

1. Nếu 2 phép chiếu đưa ra 3 phép chiếu, thì chúng cũng đưa ra các phép chiếu k trong polytime cho mỗi k.
2. Nếu 2 hình chiếu cho 4 hình chiếu, thì số lượng tập hợp độc lập của đồ thị là trong FP, do đó, FP = # P.

(1) Đặt sao cho các phép chiếu (k-1) đưa ra các phép chiếu k. Cho một đồ thị, các hình chiếu k của nó và x 1 , . . . , X k , v ∈ G , chúng tôi sẽ tính toán dự báo vào x 1 , . . . , x k , v .$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

Xác định đồ thị bằng cách gắn một đỉnh tươi đến v. Điều này có thể được coi là trọng số v. (K-1) -projections của G ' có thể được tính bởi vì chúng tôi biết k-dự báo của G. Vì vậy, sau đó chúng ta có k-dự báo của G ' . Và điều này cho x 1 , . . . , x k , v- dự đoán của G.$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

(2) Cho một đồ thị, sắp xếp các cạnh và xác định G k để có các cạnh e 1 , . . . , e k . 2 hình chiếu của G k + 1 có thể được tính từ 4 hình chiếu của G k . Số lượng tập độc lập trong G 0 là 2 | G | . Lặp lại, 4 hình chiếu của G có thể được tính trong thời gian đa thức.${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

Một số quan sát, không phải là một câu trả lời.

Ngoài ghi chú cho câu hỏi, bất kỳ sự kết hợp 3 chữ nào cũng có thể được biểu thị theo bất kỳ sự kết hợp nào khác của các chữ trên cùng một biến, cùng với một số lượng nhỏ các thuật ngữ mà nhà tiên tri có thể cung cấp. Điều này xuất phát từ việc xem sơ đồ Venn của 3 bộ giao nhau và thể hiện từng khu vực trong số 8 khu vực theo các khu vực khác. Lưu ý rằng điều này không yêu cầu công thức là đơn điệu hoặc 2CNF.

Rõ ràng là số lượng các giải pháp thỏa mãn bất kỳ kết hợp 3 chữ nào có thể được biểu thị bằng tổng , mỗi số là 0 hoặc 1, biểu thị một phép gán cụ thể cho tất cả các biến. Mỗi trong số này có thể được đánh giá theo thời gian tuyến tính, nhưng có nhiều thuật ngữ để đánh giá theo cấp số nhân, vì vậy điều này không thỏa mãn các yêu cầu.$2^{n-3}$

Do đó, câu hỏi thực sự là liệu có thể khai thác tính chất của 2CNF đơn điệu để nén biểu thức kích thước hàm mũ này thành kích thước đa thức hay không.

Tôi đã cố gắng xem xét một câu hỏi đơn giản hơn, hạn chế lời tiên tri chỉ là một chuỗi lời khuyên với số lượng giải pháp, khi số lượng cho các kết hợp theo nghĩa đen đơn hoặc theo cặp không có sẵn. Tôi không thể thấy bất kỳ cách nào để khai thác kiến ​​thức về số lượng giải pháp để có được một phép tính nhanh về số lượng giải pháp đối với bất kỳ nghĩa đen nào.

Có điều gì đó về 2CNF đơn điệu sẽ cho phép thu được số lượng giải pháp trong chứa x 1 một cách nhanh chóng, nếu ai đó biết | S | ?$S$$x_1$$|S|$