Các vấn đề tối ưu hóa với đặc tính tốt, nhưng không có thuật toán thời gian đa thức

23

Xem xét các vấn đề tối ưu hóa của các hình thức sau đây. Đặt là hàm tính toán thời gian đa thức, ánh xạ một chuỗi thành một số hữu tỷ. Vấn đề tối ưu hóa là đây: giá trị tối đa của so với chuỗi -bit bao nhiêu? $f(x)$ $x$ $f(x)$ $n$ $x$

Hãy để chúng tôi nói rằng một vấn đề như vậy có một đặc tính minimax , nếu có một hàm tính toán thời gian đa thức , sao cho giữ. Ở đây chạy trên tất cả các chuỗi -bit và chạy trên tất cả các chuỗi -bit; và có thể khác nhau, nhưng chúng có liên quan đến đa thức. $g$

max_{x} f (x) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$

x

$x$

n

$n$

y

$y$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

Nhiều vấn đề tối ưu hóa tự nhiên và quan trọng có đặc tính minimax như vậy. Một vài ví dụ (các định lý mà các đặc tính được dựa trên dấu ngoặc đơn):

Lập trình tuyến tính (LP Duality THM), tối đa luồng (Max luồng Min Cut THM), Max song phương Matching (Konig-Hall THM), Max phi song phương Matching (Tutte của THM, Tutte-Berge công thức), Max rời nhau Arborescences trong đồ thị có hướng ( rời nhau Edmond của phân nhánh THM), Max Spanning Tree đóng gói trong đồ thị vô hướng (Tutte của Tree đóng gói THM), Min Che bởi Rừng (Nash-Williams THM), Max Directed Cut Đóng gói (Lucchesi-Younger THM), Max 2-Matroid Intersection (Matroid Intersection Thm), Max Disjoint Paths (Menger's Thm), Max Antichain trong Bộ được đặt hàng từng phần (Dilworth Thm), và nhiều người khác.

Trong tất cả các ví dụ này, một thuật toán đa thức thời gian cũng có sẵn để tìm ra tối ưu. Câu hỏi của tôi:

Có bất kỳ vấn đề tối ưu hóa nào với đặc tính minimax mà cho đến nay không có thuật toán đa thức nào được tìm thấy không?

Lưu ý: Lập trình tuyến tính đã ở trong tình trạng này trong khoảng 30 năm!

— Andras Farago
nguồn

22

Trong một số ý nghĩa kỹ thuật, bạn đang hỏi liệu . Giả sử , do đó tồn tại đa thời gian và để iff và iff . Điều này có thể được gọi lại là một đặc tính minmax bởi nếu và nếu không; nếu và nếu không. Bây giờ thực sự chúng ta có . $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

Vì vậy, theo nghĩa này, bất kỳ vấn đề nào được biết đến trong nhưng không được biết là trong đều có thể được chuyển thành câu trả lời cho câu hỏi của bạn. Ví dụ: Bao thanh toán (giả sử, phiên bản quyết định cho dù bit thứ của nhân tố lớn nhất là 1). $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— Buổi sáng
nguồn

9

Tôi có ấn tượng rằng một số người thậm chí còn đi xa hơn khi lấy làm định nghĩa về "đặc tính tốt".

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— Joshua Grochow

Và để biết danh sách các vấn đề như vậy, hãy xem mathoverflow.net/questions/31821/iêu

— Rahul Savani

14

Seymour và Thomas đã cho thấy một đặc tính tối thiểu của treewidth. Tuy nhiên, chiều rộng cây là NP-cứng. Tuy nhiên, đây không hoàn toàn là loại đặc tính mà bạn đang yêu cầu, bởi vì hàm kép không phải là hàm tính toán thời gian đa thức của chứng chỉ ngắn. Điều này rất có thể không thể tránh khỏi đối với các vấn đề hoàn chỉnh NP, bởi vì nếu không, chúng ta sẽ gặp vấn đề hoàn thành NP trong coNP, ngụ ý sự sụp đổ NP = coNP, và tôi sẽ xem xét điều đó khá sốc. $g$

Các treewidth của một đồ thị là tương đương với chiều rộng nhỏ nhất nhỏ nhất của một phân hủy cây của . Một phân rã cây của đồ thị là một cây sao cho mỗi đỉnh của được gắn nhãn bởi một tập hợp các đỉnh của với thuộc tính: $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

Với mọi , . $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
Sự kết hợp của tất cả các là tập đỉnh của . $S(x)$ $G$
Với mỗi , sơ đồ con của tạo bởi tất cả mà được kết nối. $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
Mọi cạnh là tập con của một số cho . $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

Seymour và Thomas đã chỉ ra rằng treewidth tương đương với số của số lượng lớn : tối đa sao cho có một tập hợp các sơ đồ con được kết nối của sao cho: $G$ $k$ $G$

Mỗi hai sơ đồ con được giao nhau hoặc kết nối bởi một cạnh.
Không có tập hợp đỉnh của chạm vào tất cả các sơ đồ con. $k$ $G$

Một tập hợp các đồ thị con như vậy được gọi là một tập hợp thứ tự $k$

Lưu ý rằng "số lượng ít nhất là " là một câu lệnh , với cả hai bộ lượng hóa trên các tập hợp lớn theo cấp số nhân. Vì vậy, nó không đề xuất một chứng chỉ dễ dàng để xác minh (và nếu có một chứng chỉ thực sự lớn, như tôi đã nói ở trên). Để làm cho mọi thứ trở nên tồi tệ hơn, Grohe và Marx đã chỉ ra rằng với mỗi có một đồ thị của treewidth sao cho bất kỳ tập lệnh nào ít nhất là phải bao gồm nhiều đồ thị theo cấp số nhân. Chúng cũng chỉ ra rằng tồn tại các khối thứ tự có kích thước đa thức. $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— Sasho Nikolov
nguồn

1

Cảm ơn bạn, đó là một ví dụ rất hay, ngay cả khi nó không thuộc danh mục tôi đang tìm kiếm. Thật thú vị khi lưu ý rằng định lý tối thiểu về treewidth này đã được xuất bản vào năm 1993, và tại thời điểm đó, tính đầy đủ NP của treewidth đã được biết đến. Do đó, kết quả có thể được dùng làm lý do để phỏng đoán NP = coNP. Trong khi giới hạn dưới theo cấp số nhân về kích thước gạch ngang cuối cùng không đủ điều kiện cho vai trò đó, giới hạn dưới này chỉ được công bố 16 năm sau đó.

— Andras Farago

Andras, vào thời điểm đó, người ta cũng biết rằng bộ hit là NP-hard nói chung (đó là một trong 21 vấn đề của Karp). Vì vậy, ngay cả với các khối kích thước đa thức, tính toán thứ tự là không dễ dàng, trừ khi bạn có thể bằng cách nào đó sử dụng cấu trúc của các khối. Tuy nhiên, điều thú vị là kích thước của những viên gạch không được điều tra trước đó.

— Sasho Nikolov

13

Trò chơi chẵn lẻ, trò chơi trả thưởng trung bình, trò chơi giảm giá và trò chơi Stochastic đơn giản nằm trong danh mục này.

Tất cả chúng đều là các trò chơi tổng bằng hai người chơi vô hạn được chơi trên các biểu đồ, trong đó người chơi điều khiển các đỉnh và chọn nơi sẽ có mã thông báo tiếp theo. Tất cả đều có sự cân bằng trong các chiến lược vị trí không có bộ nhớ, có nghĩa là mỗi người chơi chọn một cạnh ở mỗi đỉnh lựa chọn một cách xác định và không phân biệt lịch sử chơi. Đưa ra chiến lược của một người chơi, phản hồi tốt nhất của người chơi khác có thể được tính trong thời gian đa thức và mối quan hệ tối thiểu bạn yêu cầu giữ cho "giá trị" của trò chơi.

Các biến thể quyết định tự nhiên của các vấn đề này nằm ở NP và co-NP (thực sự là UP và co-UP) và các vấn đề về chức năng, để tìm điểm cân bằng, nằm trong PLS và PPAD.

Các thuật toán có thời gian chạy được biết đến nhiều nhất là theo cấp số nhân, nhưng siêu đa thức (ví dụ , trong đó là số đỉnh trong biểu đồ trò chơi). $O(n^\sqrt{n})$ $n$

Xem, ví dụ,

David S. Johnson. Năm 2007, cột NP-đầy đủ: Tìm kim trong đống cỏ khô. ACM Trans. Thuật toán 3, 2, Điều 24 (tháng 5 năm 2007). DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— La Mã
nguồn