Phân vùng đồ thị trong khi giảm thiểu các cạnh liên phân vùng

Tôi đang cố gắng phân vùng đồ thị hình tam giác thành các sơ đồ con được kết nối với một số đảm bảo về số lượng các cạnh của phân vùng. Dưới đây là ví dụ về biểu đồ tam giác đã được phân chia thành 4 "cụm":

Điều tôi muốn ban đầu là một thuật toán có thể tạo các phân vùng xấp xỉ k tam giác (có thể có một số lỗi miễn là nó không quá lớn) và tôi đã tìm ra một thuật toán (trong đó p là tổng số phân vùng) có thể tìm thấy phân vùng như vậy. Sau đó tôi nhận ra rằng có số lượng lớn các cạnh phân vùng là bất lợi cho ứng dụng mà tôi cần thuật toán này.$O(k^2p^2(v+e))$

Lý tưởng nhất là tôi muốn một thuật toán có thể giữ mỗi phân vùng trong phạm vi , lý tưởng là nó có một yếu tố không đổi như 2. Ngoài ra, tôi muốn có thể làm cho số lượng các cạnh có giới hạn trên đó là "thấp".$k$

Ngoài ra, một vấn đề khác tôi gặp phải là nếu tôi có một phân vùng có các thuộc tính này và tôi sửa đổi biểu đồ bằng cách thực hiện một trong các cách sau:

• Thêm một tập hợp các cạnh kết nối với các đỉnh hiện có
• Thêm một đỉnh và một tập hợp các cạnh kết nối với đỉnh được thêm vào
• Xóa một tập hợp các cạnh
• Loại bỏ một đỉnh và tất cả các cạnh kết nối với đỉnh này

Tôi muốn có thể phân vùng lại biểu đồ và vẫn có mỗi phân vùng với kích thước và số cạnh cắt được thu nhỏ. (Đây là giải pháp tôi đưa ra tiền thưởng cho). Điều này có nghĩa là bằng cách sử dụng thuật toán này, chúng ta có thể xây dựng bất kỳ phân vùng nào bằng cách bắt đầu với một biểu đồ trống và thêm các đỉnh và cạnh từng cái một và phân vùng lại.$k$

Đây là một số hạn chế bổ sung cho vấn đề:

• Đồ thị là phẳng
• Mỗi "tam giác" là một đỉnh có các cạnh không xác định thành các tam giác mà nó chia sẻ một cạnh với
• Từ tuyên bố trên, rõ ràng mỗi đỉnh trong biểu đồ này có mức độ nhiều nhất là 3
• Biểu đồ được kết nối
• Mỗi sơ đồ con từ phân vùng được kết nối
• Mỗi sơ đồ con có khoảng k đỉnh
• Có ít nhất cạnh phân vùng (các cạnh chứa một đỉnh từ các phân vùng khác nhau). Nếu bạn có thể tìm thấy một tương tự ràng buộc đối với các cạnh liên phân vùng như2$\sqrt n$ hoặcO(logn)thì cũng có thể hoạt động. Tôi không hoàn toàn chắc chắn giới hạn trên cho các cạnh phân vùng có thể nhỏ hơnO(n)vì vậy nếu bạn có thể chứng minh rằng không thể làm tốt hơn, điều đó cũng thỏa mãn.$2\sqrt n$$O(\log n)$$O(n)$

Tôi đang ở thời điểm mà tôi bị mắc kẹt, vì vậy bất kỳ trợ giúp nào về vấn đề này đều đáng yêu. Nếu bạn có thể giải quyết vấn đề này, bạn là đầu gối của ong. Mặt khác, nếu bạn biết bất kỳ bài báo hoặc sách giáo khoa hoặc thuật toán nào bạn có thể chỉ cho tôi, tôi sẽ đánh giá cao nó rất nhiều.

Hãy cho tôi biết nếu tôi cần làm rõ bất cứ điều gì!

EDIT: Dưới đây là một số ràng buộc bổ sung nếu nó làm cho vấn đề dễ dàng hơn.

• Chúng tôi đang đối phó với các tam giác delaunay bị hạn chế
• Các ràng buộc sẽ KHÔNG BAO GIỜ là một đỉnh đơn
• Biểu đồ được tạo từ tam giác được xây dựng như sau: mỗi tam giác được biểu diễn dưới dạng một đỉnh. Mỗi cạnh trong biểu đồ tương ứng với một cạnh không giới hạn trong tam giác. Điều này có nghĩa là một cạnh bị ràng buộc giữa hai hình tam giác sẽ không hiển thị trong biểu diễn đồ thị của hình tam giác.

Một điều khác tôi nhận ra là chúng ta có thể cần phải sửa đổi để tăng lên khi n phát triển, nếu không thì không thể có đảm bảo O ( n ) phụ về số lượng các cạnh phân vùng.$k$$n$$O(n)$

Rao có hai bài báo về sự cắt giảm ít nhất trong các đồ thị phẳng, một phép tính gần đúng hệ số không đổi trong thời gian gần như tuyến tính dường như có thể . Chia nhỏ đệ quy, trong khi không lý tưởng, có thể là một cách tiếp cận khả thi cho vấn đề của bạn.

Satish Rao. Tìm gần dải phân cách tối ưu trong đồ thị phẳng . Trong Hội nghị chuyên đề lần thứ 28 về Cơ sở Khoa học Máy tính (FOCS), trang 225-237, 1987.

Satish Rao. Các thuật toán nhanh hơn để tìm các đường cắt cạnh nhỏ trong đồ thị phẳng (trừu tượng mở rộng). Trong Hội nghị chuyên đề ACM lần thứ 24 về Lý thuyết tính toán (STOC), trang 229-28, 1992.

Horst D. Simon và Shang-Hua Teng. Làm thế nào tốt là băm đệ quy? Trong Tạp chí SIAM về tính toán khoa học, Tập 18, Số 5, trang 1436-1445, 1997.

http://cse.iitkgp.ac.in/~pabitra/apers/barna-sdm07.pdf

$O(k^3)$$k = O(\log n)$

Các thuật toán sau đây có thể giúp đỡ.

1. Choose any vertex from the graph.

2. Do a BFS untill $O(K)$ vertices has been visited.

3. Create a cluster with the visited vertices. (Connectivity is ensured for the cluster).

4. Remover the visited vertices from the graph.

5. Repeat 1-4 untill all nodes are visited.

$O(K)$$O(K)$$O(N/K)$

Ngoài ra sửa đổi biểu đồ bằng cách thêm các đỉnh sẽ không ảnh hưởng đến phân vùng. Bất kỳ một phân vùng trong đó một trong những hàng xóm của đỉnh mới nằm, đó có thể là phân vùng của đỉnh mới. Vì vậy, có thể không cần phân vùng lại cho đến khi kích thước của một trong các cụm trở nên quá nhiều.

Biên tập:

$k$$m$$\mathscr{R}$$k$$\mathscr{R}$$O(K)$$O(K)$$\mathscr{R}$$k$$O(log n)$ sau đó có thể là các cạnh liên phân vùng có thể được giảm.

đã thực hiện một số tìm kiếm về vấn đề này nhưng đã trì hoãn việc đăng tải để xem những câu trả lời khác sẽ thành hiện thực và hiện đang đăng bài này để không vứt bỏ một số ý tưởng / khách hàng tiềm năng có thể có giá trị nào đó (mặc dù tác giả câu hỏi đã chỉ ra rằng giờ đây ông đã thấy chấp nhận được câu trả lời).

khi kiểm tra có nhiều ràng buộc được đưa ra cho vấn đề này và có thể hình dung được toàn bộ một bài báo để tạo ra một thuật toán & chứng minh rằng nó thỏa mãn tất cả chúng (tất nhiên là nằm ngoài phạm vi của định dạng stackexchange). tuy nhiên có một vài cách tiếp cận cơ bản để giải quyết loại vấn đề này

1. theo kinh nghiệm tạo các biểu đồ ngẫu nhiên phù hợp với các ràng buộc hoặc sử dụng các biểu đồ từ một số tập dữ liệu phù hợp với các điều kiện và thử các thuật toán khác nhau trên chúng và xem hiệu suất. người ta có thể thấy rằng một thuật toán thỏa mãn theo kinh nghiệm các điều kiện reqd. nếu nghiêm ngặt hơn, người ta có thể cố gắng tạo ra một bằng chứng ngoài quan sát thực nghiệm nếu nó được thỏa mãn 100% bởi các bộ dữ liệu lớn. còn đối với nghiên cứu thực nghiệm, nó thường giúp biết được các bộ dữ liệu được lấy / tạo ra như thế nào, bản chất / nguồn gốc của chúng là gì.

2. câu hỏi không có trích dẫn liên quan của văn học / refs. Vì vậy, các loại thuật toán gần nhất trong tài liệu là gì? đối với loại vấn đề này, nhiều loại lĩnh vực nghiên cứu có thể chồng chéo lên nhau. có nghiên cứu về đồ thị phẳng, phân vùng đồ thị, cắt đồ thị, phân tách đồ thị, phân vùng đồ thị hình tam giác, v.v.; Không rõ ràng để tìm ra chủ đề chính của câu hỏi này cho đến khi khu vực nghiên cứu được xây dựng hoặc cụ thể (thuật toán đồ thị) của nó sẽ trực tiếp chạm vào nó.

đưa ra những bằng cấp đó một chủ đề cơ bản của câu hỏi dường như là "phân vùng đồ thị phẳng". Dưới đây là một số giới thiệu gần đây hàng đầu về chủ đề đó có thể hữu ích và hiển thị các chủ đề / góc độ bổ sung của nghiên cứu hiện tại. có một số thuật toán được triển khai và chúng có thể có sẵn theo yêu cầu của các tác giả.

^{lần thứ} 3 liên quan đến việc phân vùng với các trọng số, sẽ tổng quát thành các trọng số bằng nhau, nhưng điều này mang lại một khung bổ sung để xem xét / điều tra: tất cả các điều kiện câu hỏi có thể được đáp ứng bằng một loại sơ đồ gán trọng lượng nào không? (điều này cũng có thể đi kèm với yêu cầu phải có một số loại kiểm soát động hoặc điều chỉnh đối với các giải pháp cũng được đề cập trong câu hỏi.)

• Phân vùng quang phổ hoạt động: Đồ thị phẳng và lưới phần tử hữu hạn Spielman / Teng

• Thuật toán tuyến tính cho phân vùng k Vấn đề về đồ thị phẳng mà không chỉ định cơ sở Wada, Chen

• Phân vùng đồ thị phẳng với chi phí và trọng lượng Aleksandrov et al