Thành viên không cần thiết trong NP

27

Có một ví dụ về ngôn ngữ trong , nhưng chúng ta không thể chứng minh trực tiếp thực tế này bằng cách chứng minh rằng có tồn tại một nhân chứng đa thức cho tư cách thành viên của ngôn ngữ này? $NP$

Thay vào đó, thực tế là ngôn ngữ trong sẽ được chứng minh bằng cách giảm ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác trong , trong đó mối liên kết giữa hai ngôn ngữ này không tầm thường và cần phân tích cẩn thận. $NP$ $NP$

Tổng quát hơn, có một số ví dụ thú vị về các vấn đề trong để khó thấy rằng chúng nằm trong ? $NP$ $NP$

Một câu trả lời nửa sẽ là vấn đề quyết định người chiến thắng trong các trò chơi chẵn lẻ: để cho thấy rằng nó nằm trong (ngay cả ), chúng ta cần định lý xác định vị trí sâu sắc và không tầm thường. Tuy nhiên, câu trả lời này không lý tưởng, bởi vì nó vẫn hiểu rõ sự tồn tại của một nhân chứng đa thức cho vấn đề chính xác này (chiến lược vị trí), và không giảm xuống một vấn đề khác . $NP$ $NP\cap coNP$ $NP$

Một số khác sẽ là thuật toán nguyên thủy của AKS: quyết định xem một số có phải là số nguyên hay không, trong khi có một tiên nghiệm không nhỏ làm chứng cho thực tế này. Giả sử chúng ta loại trừ "thuật toán đa thức đáng ngạc nhiên", vì nhiều thuật toán sẽ phù hợp với mô tả ở trên. Tôi quan tâm nhiều hơn đến các thuật toán đáng ngạc nhiên không mang tính quyết định. $NP$

reductions np

— Denis
nguồn

12

Chúng tôi biết các số nguyên tố nằm trong NP trước AKS vì

n > 2

$n > 2$ là số nguyên tố có

1 < r < n

$1<r<n$ sao cho và với tất cả các ước số nguyên tố q của , .

r^{n - 1} = 1 \mod n

$r^{n−1} = 1 \mod n$

n - 1

$n−1$

r^{\frac{n - 1}{q}} \neq 1 \mod n

$r^\frac{n-1}{q} \neq 1 \mod n$

— Artem Kaznatcheev

Thật thú vị, tôi đã không nghĩ về chứng chỉ nguyên thủy.

— Denis

6

Một nhóm tốt cho các ví dụ về tư cách thành viên không cần thiết trong NP có thể đến từ các vấn đề mà nó đã được mở trong một thời gian cho dù chúng có thể quyết định được hay không. Hai vấn đề từ đỉnh mũ của tôi: nhận dạng biểu đồ chuỗi và nhận dạng unjack (và chi nút thắt chung hơn). Trong cả hai trường hợp, vẫn tồn tại một nhân chứng đa thức (cụ thể là các đường cong / bề mặt bình thường) - chúng chỉ khó tìm thấy. Thắt nút cũng nằm trong NP, và nó cũng không tầm thường: tồn tại một chứng chỉ nhưng người ta cần Giả thuyết Riemann tổng quát để có một đa thức ràng buộc về kích thước của nó.

— Arnaud

"Vấn đề quỹ đạo" cũng không được biết là có thể quyết định trong một thời gian dài. Cuối cùng nó đã được chứng minh là ở P. Giáo sư Lipton có một bài viết xuất sắc trên blog của mình về lịch sử của vấn đề này: rjlipton.wordpress.com/2009/09/02/the-orbit-probols

— Jagadish

3

Thêm một ví dụ: Đưa ra một biểu đồ, quyết định xem nó có hoàn hảo không. Vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian đa thức, nhưng phải mất một thời gian để chứng minh rằng nó nằm trong NP.

— Jagadish

20

Lập trình số nguyên .

Cho thấy rằng nếu có một giải pháp số nguyên thì có một giải pháp số nguyên kích thước đa thức khá liên quan. Xem

Christos Papadimitriou, " Về sự phức tạp của lập trình số nguyên ", JACM, 1981.

— Kaveh
nguồn

4

Xem Christos Papadimitriou, về sự phức tạp của lập trình số nguyên , JACM 28 765 chuyến768. dx.doi.org/10.1145/322276.322287 (rất đáng đọc và chỉ dài bốn trang).

— András Salamon

1

Nếu bạn không có quyền truy cập vào ACM DL, bạn có thể lấy giấy của Papadimitriou từ đây .

— Kaveh

17

Trong khi vấn đề "là số chéo của đồ thị nhiều nhất là ?" là tầm thường trong NP, thành viên NP của các vấn đề liên quan cho số giao nhau trực tràng và số giao nhau của cặp đôi là rất không rõ ràng; xem Bienstock, Một số vấn đề có thể vượt qua khó khăn, Comput rời rạc. Hình học 6 (1991) 443-459 và Schaefer và cộng sự, nhận biết biểu đồ chuỗi trong NP, J. Comput. Hệ thống khoa học. 67 (2003) 365-380. $k$

— người dùng13136
nguồn

13

Ví dụ yêu thích của tôi là kết quả kinh điển năm 1977 của Ashok Chandra và Philip Merlin. Họ đã chỉ ra rằng vấn đề ngăn chặn truy vấn là có thể quyết định đối với các truy vấn kết hợp. Vấn đề ngăn chặn truy vấn kết hợp hóa ra tương đương với việc quyết định xem có sự đồng hình giữa hai truy vấn đầu vào hay không. Điều này định nghĩa lại một vấn đề ngữ nghĩa, liên quan đến định lượng trên một tập hợp vô hạn, thành một cú pháp, chỉ yêu cầu kiểm tra một số hữu hạn các cấu trúc đồng nhất có thể. Chứng chỉ đồng hình chỉ có kích thước tuyến tính và do đó, vấn đề nằm ở NP.

Định lý này cung cấp một trong những nền tảng của lý thuyết tối ưu hóa truy vấn cơ sở dữ liệu. Ý tưởng là để chuyển đổi một truy vấn thành một truy vấn khác, nhanh hơn. Tuy nhiên, người ta muốn đảm bảo rằng quy trình tối ưu hóa không tạo ra một truy vấn mới mà không đưa ra câu trả lời trên một số cơ sở dữ liệu nơi truy vấn ban đầu đã tạo ra kết quả.

Chính thức, một truy vấn cơ sở dữ liệu là một biểu thức có dạng , trong đó là danh sách các biến tự do, là danh sách các biến bị ràng buộc và là công thức bậc nhất với các biến và của ngôn ngữ có ký hiệu quan hệ. Truy vấn có thể chứa các bộ lượng tử tồn tại và phổ quát, công thức có thể chứa kết hợp và phân tách các nguyên tử quan hệ và phủ định cũng có thể xuất hiện. Một truy vấn được áp dụng cho một cơ sở dữ liệu $\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q$ $I$ , đó là một tập hợp các mối quan hệ. Kết quả là một bộ các bộ dữ liệu; khi tuple trong kết quả được thay thế cho thì công thức có thể được thỏa mãn. Sau đó, người ta có thể so sánh hai truy vấn: được chứa trong nếu bất cứ khi nào áp dụng cho một trường hợp cơ sở dữ liệu tùy ý tạo ra một số kết quả, thì được áp dụng cho cùng một trường hợp cũng tạo ra một số kết quả. (Sẽ ổn nếu không tạo ra kết quả nhưng $\mathbf{t}$ $\mathbf{x}$ $Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$ $Q_1$ $Q_2$ không, nhưng để ngăn chặn, hàm ý phải giữ cho mọi trường hợp có thể xảy ra.) Vấn đề ngăn chặn truy vấn hỏi: đưa ra hai truy vấn cơ sở dữ liệu và , có phải có trong không? $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$

Không rõ ràng trước Chandra-Merlin rằng vấn đề là có thể quyết định được. Chỉ sử dụng định nghĩa, người ta phải định lượng qua tập hợp vô hạn của tất cả các cơ sở dữ liệu có thể. Nếu các truy vấn không bị hạn chế, thì thực tế, vấn đề là không thể giải quyết được: hãy để là một công thức luôn luôn đúng, thì được chứa trong iff là hợp lệ. (Đây là Entscheidungspropet của Hilbert , được hiển thị không thể giải quyết được bởi Church và Turing năm 1936.) $Q_1$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$

Để tránh tính không ổn định, truy vấn kết hợp có dạng khá hạn chế: chỉ chứa các bộ lượng tử tồn tại, không được phép phủ định và phân biệt. Vì vậy, là một công thức tồn tại tích cực chỉ với sự kết hợp của các nguyên tử quan hệ. Đây là một đoạn logic nhỏ, nhưng nó đủ để thể hiện một tỷ lệ lớn các truy vấn cơ sở dữ liệu hữu ích. Câu lệnh cổ điển trong SQL diễn tả các truy vấn kết hợp; hầu hết các truy vấn công cụ tìm kiếm là truy vấn kết hợp. $Q$ $Q$ SELECT ... FROM

Người ta có thể định nghĩa đồng cấu giữa các truy vấn theo cách đơn giản (tương tự như đồng cấu đồ thị, với một chút ghi sổ kế toán bổ sung). Định lý Chandra-Merlin nói: đưa ra hai truy vấn kết hợp và , được chứa trong iff có một phép đồng hình truy vấn từ đến . Điều này thiết lập tư cách thành viên trong NP, và thật đơn giản để chỉ ra rằng đây cũng là NP-hard. $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$ $Q_1$

Ashok K. Chandra và Philip M. Merlin, Thực hiện tối ưu các truy vấn kết hợp trong các cơ sở dữ liệu quan hệ , STOC '77 77 Đố90. doi: 10.1145 / 800105.803397

Khả năng quyết định ngăn chặn truy vấn sau đó đã được mở rộng thành các hiệp hội truy vấn kết hợp (truy vấn tích cực tồn tại khi cho phép phân tách), mặc dù việc cho phép phân tách làm tăng độ phức tạp lên - hoàn thành. Các kết quả có thể quyết định và không thể xác định cũng đã được thiết lập cho một hình thức ngăn chặn truy vấn tổng quát hơn , liên quan đến việc định giá theo ngữ nghĩa xảy ra khi đếm số lượng câu trả lời, khi kết hợp các chú thích trong xuất xứ hoặc khi kết hợp các kết quả truy vấn trong cơ sở dữ liệu xác suất. $\Pi^P_2$

— Salamás Salamon
nguồn

4

Tôi tìm thấy một ứng cử viên tốt trong khi đọc một số bài báo về phương trình bậc hai diophantine:

JC Lagarias, chứng chỉ ngắn gọn cho các giải pháp cho phương trình nhị phân bậc hai (2006)

Từ tóm tắt: ... Gọi biểu thị độ dài mã hóa nhị phân của phương trình bậc hai nhị phân được cho bởi . Giả sử là một phương trình như vậy có nghiệm nguyên không âm. Bài viết này cho thấy rằng có một bằng chứng (ví dụ, chứng chỉ của người Hồi giáo) rằng có một giải pháp như vậy có thể được kiểm tra $L(F)$ $F$ $a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$ $F$ $F$ hoạt động bit. Một hệ quả của kết quả này là tập hợp nằm trong lớp NP phức tạp ... $O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$ $\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

... nhưng - thành thật mà nói - bằng chứng duy nhất mà tôi có là nó không cần thiết là số trang của bài báo ... 62! :-)

— Marzio De Biasi
nguồn

4

Khi công nhận nhận dạng đồ thị dung sai được mở, bài báo sau cho thấy nó nằm trong NP:

http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

(Sau này, nhận dạng đồ thị dung sai đã được hiển thị là NP hoàn chỉnh: http://arxiv.org/abs/1001.3251 )

— JimN
nguồn

3

Quyết định khả năng tiếp cận cho các loại hệ thống trạng thái vô hạn đôi khi có thể quyết định, thường là không. Đối với một số trường hợp đặc biệt thú vị, luôn tồn tại một chứng chỉ có thể kiểm tra đủ nhỏ và hiệu quả, đưa các vấn đề đó vào NP. Đây là một điều trị gọn gàng cho automata tham số một quầy:

Christoph Haase, Stephan Kreutzer, Joël Ouaknine, James Worrell, Khả năng tiếp cận trong máy tự động một quầy ngắn gọn và tham số , CONCUR 2009, LNCS 5710 369 phản383. doi: 10.1007 / 978-3-642-04081-8_25 ( phiên bản mở rộng )

— Salamás Salamon
nguồn

3

$NP$ $L_1, L_2$ $L_1\in NP$ $L_2\notin NP$ $L$

L = L_{1} if the twin prime conjecture is true, and L = L_{2} otherwise

$L=L_1 \; \mbox{if the twin prime conjecture is true, and } \; L=L_2 \; \mbox{otherwise}$

$L\in NP$ $L\in NP$ $NP$

— Andras Farago
nguồn

5

L = {x : x \in L_{2} \land \neg \exists m \leq | x |

$L = \{x : x \in L_2 \wedge \neg\exists m \leq |x|$

}

$\}$

L_{2}

$L_2$

— Joshua Grochow 23/214