Các vấn đề dễ xảy ra đối với các biểu đồ không trọng số, nhưng khó đối với các biểu đồ có trọng số

Nhiều vấn đề đồ thị thuật toán có thể được giải quyết trong thời gian đa thức cả trên đồ thị không trọng số và trọng số. Một số ví dụ là đường đi ngắn nhất, cây bao trùm tối thiểu, đường dẫn dài nhất (trong biểu đồ chu kỳ có hướng), lưu lượng tối đa, cắt tối thiểu, khớp tối đa, tối ưu hóa, các vấn đề sơ đồ dày đặc nhất, cắt tối đa theo hướng tối đa, cắt tối đa trong các lớp biểu đồ nhất định, độc lập tối đa thiết lập trong các lớp biểu đồ nhất định, các vấn đề đường dẫn khác nhau tối đa khác nhau, v.v.

Tuy nhiên, có một số vấn đề (mặc dù có lẽ ít hơn đáng kể) có thể giải quyết được trong thời gian đa thức trong trường hợp không trọng số , nhưng trở nên khó khăn (hoặc có trạng thái mở) trong trường hợp có trọng số . Đây là hai ví dụ:

1. Với $n$ -vertex đồ thị đầy đủ, và một số nguyên $k\geq 1$ , hãy tìm một spanning $k$ -connected đồ thị con với số lượng tối thiểu có thể có của các cạnh. Điều này có thể giải được trong thời gian đa thức, sử dụng một định lý của F. Harary, cho biết cấu trúc của các đồ thị tối ưu. Mặt khác, nếu các cạnh có trọng số, thì việc tìm ra sơ đồ con kéo dài kết nối trọng số tối thiểu $k$là $NP$ -hard.

2. Một bài báo gần đây (tháng 12 năm 2012) của S. Chechik, MP Johnson, M. Parter và D. Peleg (xem http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) xem xét, trong số những điều khác, một vấn đề về đường dẫn gọi Đường dẫn tiếp xúc tối thiểu. Ở đây người ta tìm một đường dẫn giữa hai nút được chỉ định, sao cho số lượng nút trên đường dẫn, cộng với số nút có hàng xóm trên đường dẫn là tối thiểu. Họ chứng minh rằng trong đồ thị mức độ giới hạn, điều này có thể được giải quyết trong thời gian đa thức cho trường hợp không trọng số, nhưng trở thành -hard trong trường hợp có trọng số, ngay cả với mức độ ràng buộc 4. (Lưu ý: Tham chiếu được tìm thấy như một câu trả lời cho câu hỏi Điều gì sự phức tạp của vấn đề đường dẫn này? )$NP$

Một số vấn đề thú vị khác của bản chất này là gì, khi chuyển sang phiên bản có trọng số gây ra "bước nhảy phức tạp?"

Trong thế giới của các thuật toán gần đúng có vấn đề bao phủ đỉnh điện dung. Cho và công suất nguyên c ( v ) cho mỗi v ∈ V , mục tiêu là tìm một nắp đỉnh có kích thước tối thiểu cho G trong đó số cạnh được bao phủ bởi v nhiều nhất là c ( v ) . Vấn đề này có xấp xỉ hệ số gần đúng trong trường hợp không có trọng số (nghĩa là chúng tôi muốn giảm thiểu kích thước của nắp đỉnh) trong khi đó là Ω ( log n ) -hard (trừ khi$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$và chúng tôi muốn giảm thiểu trọng lượng của bìa).$P = NP$) trong trường hợp có trọng số (mỗi đỉnh có trọng số $w(v)$

Ví dụ yêu thích của tôi là vấn đề thống trị độc lập (cho đồ thị và số nguyên k , G có tập hợp độc lập tối đa bao gồm tối đa k đỉnh không?). Với một kết quả tốt đẹp do Martin Farber ( xem tại đây ), phiên bản không trọng số có thể giải quyết được đa thức trong các biểu đồ hợp âm. Gerard Chang chứng minh rằng phiên bản có trọng số là NP-hoàn chỉnh cho các biểu đồ hợp âm ( xem tại đây ).$G$$k$$G$$k$

Vấn đề kết hợp hoàn hảo trong đồ thị lưỡng cực nằm ở trong khi Trọng lượng chính xác Kết hợp hoàn hảo của đồ thị Bipartite là N P -Complete .$P$$NP$

Theo dõi câu trả lời của Mohammad Al-Turkistany, có vẻ như nhiều vấn đề không trọng số có thể giải được trong thời gian đa thức có thể được chuyển thành -complete trong trường hợp có trọng số, nếu chúng ta hỏi liệu có giải pháp nào không$NP$ trọng lượng chính xác không . Lý do là điều này có thể cho phép mã hóa Bài toán tổng hợp con vào tác vụ được xem xét.

$W$$W$

Cân bằng đồ thị (còn được gọi là Định hướng tối thiểu) là một ví dụ khác về hiện tượng này. Trong bài toán này, chúng tôi được cung cấp một đồ thị có trọng số cạnh không xác định. Mục tiêu là định hướng các cạnh sao cho mức độ tối đa của máy đào (kết quả) được tối thiểu hóa.

Vấn đề thường được thúc đẩy bởi một kịch bản lập kế hoạch. Hãy tưởng tượng rằng mỗi đỉnh là một bộ xử lý và mỗi cạnh là một công việc chỉ được phép chạy trên một trong hai điểm cuối của nó. Trọng lượng của một cạnh là chiều dài của công việc tương ứng và mục tiêu là để giảm thiểu makepan.

Vấn đề là NP-hard và APX-hard, ngay cả khi tất cả các trọng số là 1 hoặc 2 (xem Ebenlendr và cộng sự "Cân bằng đồ thị: một trường hợp đặc biệt về lập lịch cho các máy song song không liên quan" trong SODA 2008). Tuy nhiên, trong P dành cho các đồ thị không có trọng số (xem Asahiro và cộng sự "Các lớp biểu đồ và độ phức tạp của hướng đồ thị giảm thiểu tối đa trọng số tối đa" trong CATS 2008).

Có thể đây chỉ là một ví dụ tầm thường và bạn có thể coi đó là một trường hợp thoái hóa, nhưng ví dụ đầu tiên xuất hiện trong đầu tôi là Vấn đề nhân viên bán hàng du lịch (nơi thường được cho là đồ thị đã hoàn thành). Lưu ý rằng phiên bản không có trọng số là Chu kỳ Hamilton, không quan trọng đối với các biểu đồ hoàn chỉnh.

Tìm đường dẫn chi phí tối thiểu theo ràng buộc trì hoãn (hay còn gọi là vấn đề Đường dẫn ngắn nhất bị ràng buộc) dường như phù hợp ở đây.

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

$s-t$$D$ .

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

Nếu vấn đề có trọng số, nó sẽ trở thành Đường dẫn ngắn nhất bị ràng buộc , được biết là hoàn thành NP ngay cả trên các DAG.

Vấn đề Local Max Cut với vùng lân cận FLIP là PLS - hoàn thành trong các biểu đồ có trọng số nguyên chung.

Schaeffer và M. Yannakakis. (1991). Vấn đề tìm kiếm địa phương đơn giản mà khó giải quyết. Tạp chí SIAM về máy tính, 20 (1): 56-87.

Tuy nhiên, nếu trọng số lớn nhất là đa thức về kích thước của đồ thị, thì các cải tiến cục bộ đối với tiềm năng (trọng số của một vết cắt) sẽ hội tụ trong thời gian đa thức, vì mỗi cải tiến sẽ tăng ít nhất một hàm và hàm tiềm năng là giới hạn đa thức. (Với các trọng số chung, việc tìm kiếm một giải pháp có thể tiếp cận được bằng các cải tiến cục bộ từ một lần cắt bắt đầu cụ thể là hoàn thành PSPACE.)

Một điều tương tự cũng xảy ra trong các "trò chơi tiềm năng" khác.

Nhân viên bán hàng du lịch được mở trên các biểu đồ lưới đã bán, nhưng chu trình Hamilton (biến thể không trọng số) được biết đến là đa thức.

Thảo luận về cả hai về dự án vấn đề mở:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

Trên 2K_1 miễn phí Cắt tối đa là đa thức và Cắt tối đa có trọng số là hoàn thành NP.