Là tổng con DAG xấp xỉ?

Chúng tôi được cung cấp một biểu đồ chu kỳ có hướng với một số được liên kết với mỗi đỉnh ( ) và số mục tiêu .$G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

Vấn đề tổng hợp tập hợp con DAG (có thể tồn tại dưới một tên khác, một tham chiếu sẽ rất tuyệt) hỏi xem có các đỉnh , sao cho \ Sigma_ {v_i} g (v_i) = T và v_1 \ để .. \ để v_k là một đường dẫn trong G .$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Vấn đề này là NP-Complete tầm thường, vì đồ thị bắc cầu hoàn chỉnh mang lại bài toán tổng hợp tập hợp con cổ điển.

Một thuật toán gần đúng cho bài toán tổng con DAG là một thuật toán có các thuộc tính sau:

1. Nếu tồn tại một đường dẫn có tổng T, thuật toán trả về TRUE.
2. Nếu không có đường dẫn nào tổng hợp đến một số trong khoảng $(1 − c)T$ và $T$ đối với một số $c\in (0,1)$ , thuật toán trả về SAI.
3. Nếu có một đường dẫn tổng hợp đến một số giữa và , thuật toán có thể đưa ra bất kỳ câu trả lời nào.$(1 − c)T$$T$

Tổng tập hợp con được biết là gần đúng trong thời gian đa thức cho tất cả .$c>0$

Liệu cùng giữ cho DAG-Subset-Sum?

Dường như với tôi thuật toán lập trình động thời gian giả đa thức cho bài toán Subset Sum cũng hoạt động cho vấn đề này. Đối với mỗi đỉnh , chúng tôi tính toán tập hợp bao gồm tất cả các giá trị có thể có của các đường dẫn kết thúc tại . Sau đó, chúng tôi có mối quan hệ lặp lại: . Theo thứ tự tôpô, tất cả có thể được tính theo thời gian , trong đó là tổng trọng lượng và là số cạnh.$v_i$$L_i$$v_i$$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Tôi nghĩ rằng quy mô và làm tròn tiêu chuẩn cũng có thể được áp dụng để tạo ra một FPTAS.