Những phần nào của lý thuyết loại đồng luân không thể có trong Agda hoặc Coq?

Khi chúng ta nhìn vào cuốn sách, Lý thuyết loại Homotopy - chúng ta thấy các chủ đề sau:

Homotopy type theory 
2.1 Types are higher groupoids
2.2 Functions are functors
2.3 Type families are fibrations
2.4 Homotopies and equivalences
2.5 The higher groupoid structure of type formers
2.6 Cartesian product types
2.7 S-types
2.8 The unit type
2.9 P-types and the function extensionality axiom
2.10 Universes and the univalence axiom
2.11 Identity type
2.12 Coproducts
2.13 Natural numbers
2.14 Example: equality of structures
2.15 Universal properties

Bây giờ chúng ta biết rằng không phải tất cả các lý thuyết loại đồng luân đều có thể là Agda và Coq .

Câu hỏi của tôi là: Những phần nào của lý thuyết loại đồng luân không thể có trong Agda hoặc Coq?

Nếu bạn nhìn vào Ghi chú về Chương 8 , bạn sẽ thấy những gì đã đã được chính thức hóa, và tôi nghĩ rằng đó là rất nhiều. Có thư viện Coq HoTT và thư viện Agda HoTT-Agda chính thức hóa các khối lớn của Lý thuyết loại Homotopy.

Để hoàn thành công việc trong Coq, chúng tôi cần một phiên bản Coq đặc biệt được vá chỉ với mục đích của HoTT. Tuy nhiên, Coq đang đi theo hướng hỗ trợ lý thuyết loại đồng luân, vì vậy trước đó chúng ta có thể làm điều đó với Coq tiêu chuẩn.

Trong Agda người ta phải bật --without-Ktùy chọn, nếu không Agda nghĩ rằng tất cả các loại là loại 0. Có một số nghi ngờ kéo dài về việc liệu có --without-Kthực sự thoát khỏi giả định rằng mọi thứ đều là 0 hay không, hoặc có lẽ người ta có thể giới thiệu lại nó vào Agda với cách sử dụng khéo léo các mẫu khớp.

Các khía cạnh sau đây của chính thức hóa Coq và Agda là không thỏa đáng:

1. Tiên đề Univalence được nêu là một giả thuyết. Sẽ tốt hơn nếu được tích hợp vào hệ thống. Đặc biệt, chúng tôi muốn Coq và Agda hiểu các quy tắc tính toán về tiên đề Univalence.

2. Tương tự như vậy, chúng ta phải sử dụng hack để có được các loại cảm ứng cao hơn khả thi. Một lần nữa, nó sẽ tốt hơn để có hỗ trợ trực tiếp.

Rắc rối với những thiếu sót trên là không ai biết cách khắc phục chúng ngay cả trên lý thuyết. Đây là một lĩnh vực hoạt động nghiên cứu.

Ngoài ra, tôi nghĩ thật công bằng khi nói rằng HoTT có thể được thực hiện chủ yếu ở Coq và Agda, chỉ là không theo cách tối ưu.

Theo như tôi hiểu, ở Agda có thể đại diện cho tất cả những điều đó (tức là tất cả Chương 2 - có một thư viện trên github, điều đó đúng; AFAIK, điều tương tự cũng đúng với Coq). Chỉ đến khi bạn đến những chương sau, mọi thứ mới trở nên tồi tệ. Có hai mục rõ ràng:

1. Hình tròn. Điều này được thể hiện (bằng Agda) bằng cách sử dụng một định đề , và do đó không đẹp như những thứ khác.
2. $\infty$

Cũng có những mục khác, nhưng tôi chưa đọc được phần đó của chính thức hóa Agda ... Nhưng nhìn chung, hầu hết HoTT có thể được chính thức hóa một cách độc đáo ở cả Agda và Coq.

Quan trọng hơn, cả hai nhóm các nhà phát triển đang tích cực làm việc để điều chỉnh hệ thống của họ để có thể xử lý nhiều HoTT hơn, ít nhất là bất cứ khi nào có một lý thuyết rõ ràng về cách triển khai các tính năng cần thiết. Điều đó đã trở thành thách thức trong các phần.