Kích thước VC của xi lanh trong một xi lanh

Tôi muốn biết kích thước VC của không gian phạm vi xây dựng như sau:$(X,\mathcal{R})$

1. $X$ là hình trụ $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2\leq 1\}$
2. Các phạm vi trong được hình thành bằng cách lấy sự kết hợp của các đĩa tròn sao cho: $\mathcal{R}$
   • mặt phẳng chứa đĩa trực giao với trục z (chúng ta "xếp" các đĩa theo hướng z)
   • một đĩa tiếp tuyến với ranh giới hình trụ tại điểm$(1,0,z)$
   • một đĩa có đường kính , trong đó được giới hạn (nghiêm ngặt) bởi , và tăng đơn điệu một cách nghiêm túc, giảm đơn điệu hoặc không đổi.f ( z ) - 1 < f ( z ) < $f(z)+1$$f(z)$$-1<f(z)<1$
3. Bất kỳ tập hợp nào được xây dựng bằng cách xoay một trong các phạm vi này về trục z theo một góc tùy ý cũng là một phạm vi.

Theo trực giác, hãy tưởng tượng lấy một bộ tiền xu (hình tròn, tất nhiên) và sắp xếp chúng theo đường kính, giảm hoặc tăng. Sau đó thả chúng cẩn thận vào một ống (xi lanh chính) theo thứ tự đó, vì vậy mỗi cái còn lại trên cái cuối cùng. Bây giờ hãy nghiêng đầu ống một chút để tất cả chúng nằm yên bên cạnh xi lanh. Nếu tiền của chúng tôi có độ dày bằng không và chúng tôi có một cho mỗi số thực, đây sẽ là phạm vi của chúng tôi.

Tôi hầu hết quan tâm đến trường hợp là sigmoid, như hàm lỗi hoặc . Cụ thể, tôi quan tâm đến các phạm vi hình trụ được hình thành bởi họ các hàm , trong đó .tanh tanh ( α ( z - β ) ) α , β ∈ $f(z)$$\tanh$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$

Tôi biết rằng không gian phạm vi này có ít nhất VC-dim 4 (tôi có thể xây dựng một bộ bốn điểm mà nó sẽ phá vỡ), nhưng tôi quan tâm đến việc đặt giới hạn trên vào nó và hiểu lý do tại sao. Tôi biết điều đó:

1. Các đĩa tròn trong có VC-dim 3$\mathbb{R}^2$
2. Các tập hợp con của dải được giới hạn ở trên hoặc dưới bởi có ít nhất VC-dim 3, có thể bằng 3, vì phần dốc của hàm hoạt động giống như một đường tanh ( α ( z - β ) ) $\{-1\leq y\leq 1\}\subset\mathbb{R}^2$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\tanh$

Có cách nào để kết hợp những sự thật này để đạt được giới hạn trên của kích thước VC không ? Có điều gì để nói về chung đáp ứng các tiêu chí trong (2) không?$f(z)$

Bạn cần hạn chế sigmoid trên để kích thước VC là hữu hạn. Nếu không, bạn có thể để hành xử như một cầu thang, với nhiều bước tùy ý. Sau đó những cầu thang này có thể có nhiều ngã tư tùy ý. Điều này cho phép phạm vi thừa nhận tập con khác nhau. f n 2 $f$$f$$n$$2^n$

Nếu là một đa thức, thì bạn có thể ràng buộc kích thước VC bằng cách sử dụng mức độ của đa thức (kết hợp với mức độ của đa thức (2) mô tả đĩa). Nhưng không chắc chắn cách áp dụng loại kết quả này cho .$f(z)$$\tanh$