Tại sao tính tuyến tính là một thuộc tính an toàn và tại sao các thuộc tính an toàn lại đóng?

Trong Chương 13 "Đối tượng nguyên tử" của cuốn sách "Thuật toán phân tán" của Nancy Lynch, tính tuyến tính (còn được gọi là nguyên tử) được chứng minh là một đặc tính an toàn. Điều đó có nghĩa là, thuộc tính theo dõi tương ứng của nó là không trống, đóng tiền tố và đóng giới hạn , như được định nghĩa trong Mục 8.5.3. Một cách không chính thức, một tài sản an toàn thường được hiểu là nói rằng một số điều "xấu" cụ thể không bao giờ xảy ra.

Dựa trên điều này, vấn đề đầu tiên của tôi là như sau:

Những lợi thế của tính tuyến tính như là một tài sản an toàn là gì? Có một số kết quả dựa trên thực tế này trong tài liệu?

Trong nghiên cứu về phân loại tài sản an toàn và tài sản sinh động, người ta biết rằng tài sản an toàn có thể được mô tả là tập hợp đóng trong một cấu trúc liên kết thích hợp. Trong bài báo "Phân loại tiến độ an toàn" @ 1993 của Amir Pnueli et al. , một cấu trúc liên kết số liệu được thông qua. Cụ thể hơn, một tài sản là một tập hợp (hữu hạn hoặc vô hạn) từ trên bảng chữ cái Σ . Thuộc tính Một ( Φ ) bao gồm tất cả các từ vô hạn σ như vậy mà tất cả các tiền tố của σ thuộc về Φ . Ví dụ, nếu Φ = một + b * , sau đó$\Phi$$\Sigma$$A(\Phi)$$\sigma$$\sigma$$\Phi$$\Phi = a^{+}b^{\ast}$ . Một tính chất infinitary Π được định nghĩa là mộttài sản an toànnếu Π = Một ( Φ ) đối với một số tài sản finitary Φ . Các số liệu d ( σ , σ ' ) giữa các từ vô hạn σ và σ ' được định nghĩa là 0 nếu họ là giống hệt nhau, và d ( σ , σ ' ) = 2 $A(\Phi) = a^{\omega} + a^{+}b^{\omega}$$\Pi$$\Pi = A(\Phi)$$\Phi$$d(\sigma, \sigma')$$\sigma$$\sigma'$ khác, trong đójlà độ dài của tiền tố chung dài nhất mà họ đồng ý. Với số liệu này, thuộc tính an toàn có thể được mô tả là các bộ đóng theo cấu trúc liên kết.$d(\sigma, \sigma') = 2^{-j}$$j$

Đây là vấn đề thứ hai của tôi:

Làm thế nào để mô tả tính tuyến tính như là tập đóng cấu trúc liên kết? Cụ thể, tập cơ bản là gì và cấu trúc liên kết là gì?

Những lợi thế của tính tuyến tính như là một tài sản an toàn là gì? Có một số kết quả dựa trên thực tế này trong tài liệu?

Giả sử rằng bạn đã thực hiện một bộ nhớ chia sẻ máy mà chỉ thỏa mãn cuối cùng tuyến tính , được xác định như sau: trong mỗi chạy α của M , có tồn tại một số điểm trong thời gian T α , như vậy mà tuyến tính nắm giữ từ thời gian T α trên. Lưu ý rằng không có ràng buộc phía trên bên T . (*) (Đây là đối tác sinh động nhân tạo của định nghĩa thuộc tính an toàn tiêu chuẩn về tính tuyến tính.)$M$$\alpha$$M$$T_\alpha$$T_\alpha$$T$

Việc triển khai bộ nhớ dùng chung như vậy sẽ rất hữu ích cho lập trình viên: Lưu ý rằng nếu chỉ giữ tính tuyến tính hóa cuối cùng, không có gì đảm bảo về tính nhất quán của các hoạt động đọc / ghi trong bất kỳ tiền tố "sớm" nào của lần chạy (trước thời gian không xác định ). Hay nói cách khác, bất cứ điều gì đã xảy ra cho đến bây giờ, bạn vẫn có thể mở rộng tiền tố hiện tại của một lần chạy thành một thỏa mãn tính tuyến tính cuối cùng. $T$

(*) Nếu có giới hạn trên như vậy, thì tính tuyến tính cuối cùng sẽ trở thành một đặc tính an toàn.

Làm thế nào để mô tả tính tuyến tính như là tập đóng cấu trúc liên kết? Cụ thể, tập cơ bản là gì và cấu trúc liên kết là gì?

Chúng ta có thể định nghĩa một cấu trúc liên kết số liệu trên tập , là tập hợp tất cả các lần chạy có thể có của một thuật toán phân tán. Lưu ý rằng mỗi lần chạy alpha ∈ A S Y N C tương ứng với một dãy vô hạn các chuyển trạng thái. Đối với α , β ∈ A S Y N C , α ≠ β , chúng ta định nghĩa d ( α , β ) : = 2 - N mà $ASYNC$$\alpha \in ASYNC$$\alpha, \beta \in ASYNC$$\alpha \ne \beta$

Đầu tiên chúng ta cho rằng là một thước đo về Một S Y N C . Theo định nghĩa, d là số không âm và ∀ α , β ∈ A S Y N C chúng ta có d ( α , β ) = d ( β , α ) . Đối với α , β , gamma ∈ A S Y N C , tam giác-bất bình đẳng d ( α , $d$$ASYNC$$d$$\forall \alpha,\beta \in ASYNC$$d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha)$$\alpha,\beta,\gamma \in ASYNC$ trivially giữ nếu γ = α hay γ = β . Bây giờ xem xét các trường hợp đó d ( α , γ ) ≥ d ( γ , β ) > 0 , tức là d ( α , γ ) = 2 - n 1 và d ( γ , $d(\alpha,\beta) \le d(\alpha,\gamma) + d(\gamma,\beta)$$\gamma=\alpha$$\gamma=\beta$$d(\alpha,\gamma) \ge d(\gamma,\beta) > 0$$d(\alpha,\gamma)=2^{-n_1}$ , đối với một số chỉ số n 1 ≤ n 2 . Kể từ khi γ cổ phiếu một tiền tố phổ biến có độ dài n 2 - 1 với β nhưng chỉ có một tiền tố của chiều dài n 1 - 1 với α , nó sau đó α và β khác nhau ở chỉ số n 1 , và do đó d ( α , β ) = d ( α , γ $d(\gamma,\beta)=2^{-n_2}$$n_1\le n_2$$\gamma$$n_2-1$$\beta$$n_1-1$$\alpha$$\alpha$$\beta$$n_1$$d(\alpha,\beta) = d(\alpha,\gamma)$và bất đẳng thức tam giác theo sau. Trường hợp theo sau tương tự.$0<d(\alpha,\gamma) < d(\gamma,\beta)$

$d$$\epsilon$$B_\varepsilon(\alpha) = \{ \beta \in ASYNC \mid d(\alpha,\beta) < \varepsilon \}$$\alpha$$S\subseteq ASYNC$$\alpha \notin S$$N$$\beta$$N$$\alpha$$S$$\alpha \notin S$$N\geq 0$$\beta \in ASYNC$$d(\alpha,\beta) < {2^{-N}}\text{,}$$\alpha$$\beta$$\ge N$$\beta \notin S$$S$

[1] James Munkres. Cấu trúc liên kết.

Về câu hỏi đầu tiên của bạn - thuộc tính an toàn, theo một cách nào đó, thuộc tính "dễ nhất" để xử lý, liên quan đến các vấn đề như kiểm tra mô hình và tổng hợp.

Lý do cơ bản cho điều này là trong cách tiếp cận lý thuyết tự động đối với các phương pháp chính thức, lý luận về các đặc tính an toàn làm giảm lý luận về dấu vết hữu hạn, dễ hơn cài đặt theo dõi vô hạn tiêu chuẩn.

Xem công việc của Orna Kupferman ở đây là điểm khởi đầu.