Độ phức tạp của việc đếm số lượng các cạnh của đồ thị

Một bìa cạnh là một tập hợp con các cạnh của đồ thị sao cho mọi đỉnh của đồ thị đều liền kề với ít nhất một cạnh của bìa. Hai bài báo sau đây nói rằng đếm bìa là #P -complete : Một FPTAS đơn giản để đếm các nắp cạnh và tạo ra các vỏ đồ thị cạnh của đồ thị đường dẫn . Tuy nhiên, trừ khi tôi bỏ lỡ điều gì đó, họ không cung cấp tài liệu tham khảo cho khiếu nại này hoặc bằng chứng. (Tài liệu tham khảo 3 của bài báo đầu tiên có vẻ đầy hứa hẹn, nhưng tôi cũng không tìm thấy những gì tôi muốn ở đó.)

Tôi có thể tìm tài liệu tham khảo hoặc bằng chứng về thực tế rằng việc đếm số lượng các cạnh của đồ thị là # P-hoàn chỉnh ở đâu?

— a3nm
nguồn

Câu trả lời:

Tôi không biết điều này đã được chứng minh lần đầu tiên ở đâu, nhưng vì EdgeCover có biểu hiện là một vấn đề Holant miền Boolean, nên nó được bao gồm trong nhiều định lý phân đôi Holant.

EdgeCover được bao gồm trong định lý phân đôi trong (1). Định lý 6.2 (trong phiên bản tạp chí hoặc Định lý 6.1 trong bản in trước) cho thấy EdgeCover là # P-hard so với các đồ thị 3 mặt phẳng. Để thấy điều này, biểu thức cho EdgeCover là một vấn đề Holant trên đồ thị 3 thông thường là (hoặc thay thế bằng chứa 1 cho cùng một vấn đề trên đồ thị -regular). Đây ký hiệu liệt kê các sản phẩm của một chức năng đối xứng $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ $k$ $[0,1,1,1]$ theo thứ tự trọng lượng Hamming đầu vào. Đối với một số tập hợp con của các cạnh được đặt (mà chúng ta nghĩ là được gán 1 và tập bổ sung được gán 0), ràng buộc ở mỗi đỉnh là ít nhất một cạnh được gán 1, chính xác là hàm . Đối với một tập hợp con các cạnh cố định, trọng lượng của nó là sản phẩm của các đầu ra ở mỗi đỉnh. Nếu bất kỳ đỉnh nào không được bảo hiểm, nó đóng góp hệ số . Nếu tất cả các đỉnh được che phủ, thì tất cả các đỉnh đóng góp hệ số , vì vậy trọng số cũng là $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ $0$ $1$ $1$ . Sau đó, Holant là tổng hợp trên mọi tập hợp con có thể của các cạnh và thêm trọng số tương ứng với mỗi tập hợp con. Giá trị Holant này hoàn toàn giống nhau nếu chúng ta chia nhỏ mọi cạnh và áp đặt ràng buộc rằng cả hai cạnh tới của các đỉnh mới này phải bằng nhau. Sử dụng ký hiệu hàm đối xứng, hàm đẳng thức nhị phân này là . Biểu đồ này là lưỡng cực. Các đỉnh trong một phần có ràng buộc trong khi các đỉnh trong phần khác có ràng buộc . Biểu thức cho vấn đề này là vấn đề Holant là . Sau đó, bạn có thể tự kiểm tra hàng đó " " và cột " $[1,0,1]$ $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ "Của bảng gần định lý được trích dẫn ở trên có chứa" H ", có nghĩa là vấn đề là # P-hard ngay cả đồ thị đầu vào phải là phẳng.

Lưu ý bên lề: Lưu ý rằng Pinyan Lu là tác giả của cả bài báo này và bài báo đầu tiên bạn trích dẫn. Tôi đoán rằng khi bài báo của họ nói rằng "đếm bìa là vấn đề hoàn thành # P ngay cả khi chúng tôi giới hạn đầu vào ở 3 biểu đồ thông thường", họ đã ngầm trích dẫn (1). Có lẽ họ đã không đề cập rằng độ cứng cũng giữ khi bị giới hạn hơn nữa đối với các đồ thị phẳng vì FPTAS của họ không cần hạn chế này.

Các định lý phân đôi Holant sau này, chẳng hạn như các định lý trong (2,3) --- phiên bản hội nghị và tạp chí của cùng một tác phẩm --- đã chứng minh nhiều hơn. Định lý 1 (trong cả hai phiên bản) nói rằng EdgeCover là # P-cứng trên phẳng đồ thị -regular cho . Để thấy điều này, chúng ta cần áp dụng một phép biến đổi ba chiều. Như đã trình bày ở trên, khái niệm cho EdgeCover là một vấn đề Holant qua -regular đồ thị là , nơi chứa 1 của . Và hơn nữa, điều này tương đương với . Bây giờ, chúng tôi áp dụng phép biến đổi ba chiều bằng $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (hoặc nghịch đảo của nó, tùy thuộc vào quan điểm của bạn). Theo Định lý Holant của Valiant (4,5), điều này không làm thay đổi mức độ phức tạp của vấn đề (thực tế, cả hai vấn đề thực sự là cùng một vấn đề vì chúng đồng ý về đầu ra của mọi đầu vào ... chỉ có biểu hiện của vấn đề đã thay đổi ). Biểu thức thay thế cho vấn đề này là

Holant ([1, 0, 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes k} [0, 1, \dots, 1]) = Holant ([2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}] | =_{k}),

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$ trong đó là hàm bình đẳng trên đầu vào. Để áp dụng Định lý 1, chúng ta phải chuẩn hóa thành bằng cách chia hàm ban đầu cho , điều này không làm thay đổi độ phức tạp của vấn đề vì giá trị này là khác không. Khi đó các giá trị và trong phát biểu của định lý là và . Dành cho

=_{k}

$=_k$

k

$k$

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$ , người ta có thể kiểm tra xem vấn đề này, do đó, EdgeCover cũng vậy, # P-hard so với các đồ thị không đều phẳng cho .

k

$k$

k \geq 3

$k \ge 3$

Lưu ý bên lề: Người ta cũng có thể thấy định lý và bằng chứng này trong luận án của Michael Kowalchot .

Tôi sẽ tiếp tục tìm kiếm tài liệu của mình để xem EdgeCover đã được hiển thị là # P-hard trước (1).

(1) Giảm hình ba chiều, nội suy và độ cứng của Jin-Yi Cai, Pinyan Lu và Mingji Xia ( tạp chí , bản in trước ).

(2) một sự phân đôi cho -Regular Đồ thị với -Vertex Bài tập và Real Cạnh Chức năng $k$ $\{0,1\}$ của Jin-Yi Cai và Michael Kowalczyk.

(3) Các chức năng phân vùng trên đồ thị -Regular với -Gertex Assign và Real Edge Function $k$ $\{0,1\}$ của Jin-Yi Cai và Michael Kowalchot.

(4) Thuật toán ba chiều của Leslie G. Valiant

(5) Định lý Holant của Valiant và các thang đo khớp của Jin-Yi Cai và Vinay Choudhary

— Tyson Williams
nguồn

Wow, cảm ơn vì đã chỉ cho tôi điều này và đã dành thời gian để giải thích từ vựng và kết nối với bìa cạnh! Tôi đồng ý với bạn rằng (1) ngầm chứng minh rằng EdgeCover khó (và khó ngay cả đối với các đồ thị phẳng 3 thông thường). Tôi cũng muốn biết liệu có ai đã chứng minh độ cứng # P của EdgeCover trước đó không (1), mặc dù tôi đã khá vui khi tôi có điều gì đó để trích dẫn nếu tôi cần sử dụng kết quả này (đó là mối quan tâm chính của tôi khi hỏi ). Cảm ơn một lần nữa cho câu trả lời của bạn!

— a3nm

@Tyson Williams: nếu bạn bắt đầu từ một đồ thị 2-3 thường xuyên và hợp đồng các nút của phân vùng của mức độ 2 thì bạn có thể kết thúc với 3 thường xuyên multigraph , ví dụ, với các cạnh song song. Điều này có thể được cố định để hiển thị độ cứng trên đồ thị đơn giản 3 thông thường không? Tổng quát hơn, câu hỏi này có thể được hỏi cho tất cả các kết quả về các vấn đề Holant, vì vậy tôi đã tạo một câu hỏi mới ở đây cstheory.stackexchange.com/q/43912/38111 , vì tôi nghĩ rằng vấn đề không bị hạn chế đối với vấn đề cụ thể này (tính cạnh bao gồm). Tôi rất vui nếu bạn có thể xem :)

— M.Monet

À, vâng. Quan sát tốt. Tôi không thể nhớ ngay bây giờ những kết quả cho các biểu đồ đơn giản.

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Cảm ơn bạn đã xác nhận và không phải lo lắng! Trong cộng đồng của tôi, "biểu đồ" luôn có nghĩa là "biểu đồ đơn giản" trừ khi có quy định khác, vì vậy tôi đã không nêu rõ ràng trong câu hỏi.

— a3nm

@TysonWilliams: sau tất cả, chúng tôi đã tìm ra cách để có được kết quả độ cứng khi đếm các nắp cạnh cho các biểu đồ đơn giản (đó là 2-3 bipartite và phẳng thông thường) thông qua các phương tiện ba chiều. Các chi tiết có trong phiên bản mới nhất của câu trả lời của tôi dưới đây và trong Phụ lục D của arxiv.org/abs/1703.03201 . Chúng tôi sử dụng độ cứng của việc đếm các đỉnh trên các đồ thị hai mặt phẳng thông thường từ xia2006THER: các đồ thị này không có các vòng lặp, chúng tôi chia nhỏ từng cạnh để loại bỏ các cạnh song song và cai2008hologpson không tạo ra vấn đề. (Đối với biểu đồ 3 thông thường, như trong câu trả lời của bạn, chúng tôi không biết.)

— a3nm

Sau một số tìm kiếm tài liệu, có vẻ như sự phức tạp của việc đếm các bìa cạnh trong biểu đồ đã được hiển thị là # P-đầy đủ trong bordewich2008path, Phụ lục A.1 . (Điều này giả sử các biểu đồ tùy ý làm đầu vào, nghĩa là chúng không thể thực thi bất kỳ giả định nào trên biểu đồ đầu vào, ngoại trừ việc chúng quan sát thấy mức độ tối thiểu có thể được tạo ra lớn tùy ý). (bordewich2008path tiếp tục chỉ ra rằng kết quả được tuyên bố mà không có bằng chứng trong bubley1997graph.) Kết quả này có trước những câu của Cai, Lu và Xia được tham chiếu như (1) trong câu trả lời của Tyson Williams, và nó không dựa trên lý thuyết ba chiều.

Cụ thể, kết quả dựa trên độ cứng # P của việc đếm các bộ độc lập trong các đồ thị 3 thông thường được hiển thị trong greeoping2000complexity (cải thiện kết quả tương tự cho đồ thị mức độ nhiều nhất là 4 được hiển thị trong vadhan1997complexity) và chứng minh kết quả bằng kỹ thuật bubley1997g .

Một kết quả mạnh hơn, cụ thể là độ cứng của việc đếm các cạnh bao trong một đồ thị bậc hai có nhiều nhất là bốn (áp đặt thêm rằng tập hợp cạnh có thể được phân chia thành bốn khớp) được nghiên cứu độc lập trong khanna2011queries, Phụ lục B.1, một lần nữa mà không cần các công cụ hình ba chiều . Họ dựa vào độ cứng của việc đếm các tập độc lập trong đồ thị lưỡng cực 3 thông thường (thể hiện trong xia2006uity bằng cách tinh chỉnh phương pháp nội suy của vadhan1997complexity) và sau đó họ áp dụng một sàng lọc kỹ thuật của bordewich2008path.

Một kết quả thậm chí còn mạnh hơn (độ cứng của việc đếm cạnh bao trong đồ thị thông thường 2-3 bipartite, tức là đồ thị lưỡng cực trong đó tất cả các đỉnh ở một bên có độ 2 và tất cả các đỉnh ở phía bên kia đều có độ 3, là mặt phẳng bổ sung) được hiển thị bằng cách sử dụng kết quả của xia2006uity và cai2008hologpson. Các giải thích cho điều này xuất hiện dưới dạng Phụ lục D của phiên bản mới nhất của bài báo PODS'17 của chúng tôi . Trong trường hợp này, chúng tôi đã kiểm tra khá cẩn thận rằng kết quả giữ cho các biểu đồ đơn giản , nghĩa là đối với các biểu đồ không có vòng lặp cũng không có nhiều cạnh (xem các bình luận cho câu trả lời của Tyson Williams).

Đối với độ cứng trên đồ thị 3 mặt phẳng, một đối số được đưa ra trong câu trả lời của Tyson Williams, nhưng dường như nó cho phép nhiều vòng và các vòng lặp tự trong các biểu đồ.

Người giới thiệu:

bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinki, Ghép đường bằng cách sử dụng thời gian dừng và đếm các bộ và màu độc lập trong Hypergraphs , 2008.
bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, Định hướng đồ thị không có độ chìm và xấp xỉ cho một trường hợp khó của #SAT , 1997. Không có phiên bản truy cập mở nào có sẵn trực tuyến. :-(
cai2008hologpson: J. Cai, P. Lu, M. Xia, Giảm ba chiều, nội suy và độ cứng , 2008
greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, Sự phức tạp của việc đếm màu và các tập độc lập trong đồ thị thưa và siêu đồ thị , 2000
khanna2011queries: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, Truy vấn với sự khác biệt về cơ sở dữ liệu xác suất , 2011.
vadhan1997complexity: Salil P. Vadhan, Độ phức tạp của đếm trong đồ thị thưa thớt, đều đặn và phẳng , 1997. Một số kết quả ban đầu có thể xuất hiện trong một luận án, nhưng tôi đã không kiểm tra.
xia2006uity: Mingji Xia, Wenbo Zhao, # 3-Bipartite Planar Vertex Cover là # P-Complete , 2006. Không có phiên bản truy cập mở nào có sẵn trực tuyến. :-( Lưu ý rằng tác giả đầu tiên cũng là tác giả của (1) trong câu trả lời của Tyson Williams.

Diclaimer: Tôi chỉ có cái nhìn hời hợt về những giấy tờ này và tôi không phải là chuyên gia trong lĩnh vực này, vì vậy có thể có lỗi trong bản tóm tắt của tôi ở trên.

Cảm ơn một trọng tài PODS'17 ẩn danh đã chỉ cho tôi đến khanna2011queries, đó là điều thôi thúc tôi viết câu trả lời này.

— a3nm
nguồn